Nauki przyrodnicze
MENU
STRONA GŁÓWNA
Przyroda polska
Zdjęcia natury
Fizyka teoretyczna
Biologia teoretyczna
Biochemia
Biologia molekularna
Ornitologia
Rośliny Polski
Botanika
Zoologia
Internetowe ZOO
Związki czynne roślin
Pierwiastki
chemiczne
Chemia nieorg.
Chemia organiczna
Ciekawostki
biologiczne
Ciekawostki
fizyczne
Ciekawostki
chemiczne
Ciekawe książki
Ciekawe strony www
Słownik

INFO
INFO O AUTORZE
KONTAKT

Do działu: FIZYKA TEORETYCZNA →

Symetrie a zasady zachowania

Zasady zachowania mówią, że w danym, izolowanym układzie istnieją wielkości, które bez względu na to kiedy będą mierzone i bez względu na to, co się w tym układzie dzieje, zawsze zachowują stałą wartość. W tym artykule będziemy mówić o 3 wielkich zasadach zachowania: pędu, energii i momentu pędu. Okazuje się że zasady zachowania mają ścisły związek z pewnymi przekształceniami, zwanymi symetriami. Pokazuje to twierdzenie Noether sformułowane w 1918 roku.

Symetria względem przesunięć w przestrzeni ma związek z zasadą zachowania pędu, symetria względem obrotów w przestrzeni - z zasadą zachowania momentu pędu, a symetria względem przesunięć w czasie - z zasadą zachowania energii. Symetria to niezmienniczość, więc ani przesunięcie, obrót, ani upływ czasu niczego nie zmienia. Ściślej, nie istnieje wyróżniony punkt w przestrzeni, kierunek w przestrzeni ani chwila. Jeśli zamkniemy się w izolowanym układzie, na podstawie żadnego doświadczenia przeprowadzonego w jego obrębie nie będziemy w stanie stwierdzić, że zmieniliśmy położenie, zostaliśmy obróceni o dany kąt, czy minęła chwila czasu.

W tym artykule pokażemy w sposób ścisły, matematyczny jak z trzech powyższych symetrii wynikają matematycznie zasady zachowania trzech wielkości.

Weźmy dowolną funkcję falową ψ(r). Dokonujemy na niej operacji przesunięcia jej w przestrzeni o wektor s. Czyli działamy na naszą funkcję operatorem przesunięcia, oznaczonym to jako Ô.

Ô ψ(r) = ψ(r - s)

Wygodnie jest wybrać kierunki osi układu współrzędnych tak, aby oś X była zgodna z kierunkiem wektora s. Wtedy:

ψ(r - s) = ψ(x – s, y, z)

Teraz rozwińmy naszą funkcję w szereg Taylora. Ogólny wzór na rozwinięcie w ten szereg wygląda:

f(x) = f(0) + f’(0) x + f’’(0) x2/2! + f’’’(0) x3/3! + ...

W naszym przypadku (zmienną jest s):

ψ(x – s, y, z) = ψ(x, y, z) – s dψ(x, y, z)/dx + (s2 /2!) (d2 ψ(x, y, z)/dx2) -
- (s3/3!) (d3 ψ(x, y, z)/dx3 +...

Funkcja ex ma następujące rozwinięcie w szereg Taylora:

ex = 1 + x + x2/2! + x3/3! + ....

Widzimy więc, że we wzorze na rozwinięcie naszej funkcji rolę x pełni: - s d/dx, a ψ(x, y, z) można wyłączyć przed nawias. A więc nasze rozwinięcie możemy zapisać w postaci:

ψ(x – s, y, z) = e-s d/dx ψ(x, y, z)

Dla dowolnego doboru kierunków osi musimy zastąpić s d/dx przez s razy ∇ (nabla). Operator pędu P ma postać: -iħ∇. Więc ostatecznie nasz wzór ma postać:

ψ(r - s) = exp (-isP/ħ) ψ(r)
czyli
Ô ψ(r) = exp (-isP/ħ) ψ(r)

Wyprowadziliśmy więc wzór na operator przesunięcia o dany wektor s:

Ô = exp (-isP/ħ)

Jak już wspomnieliśmy, rozwinięcie funkcji exp x wynosi 1 + x + x2/2! + x3/3! +.... Dla nieskończenie małych przesunięć s możemy uwzględnić tylko 2 składniki szeregu: 1 + x. W naszym przypadku więc:

Ô = exp (-isP/ħ) ≈ 1 - isP/ħ

Mnożenie przez 1 możemy utożsamić z działaniem operatora identyczności Î, który nic nie zmienia. Po prostych przekształceniach otrzymujemy wzór na operator pędu:

P = ħ (Ô – Î)/-is

W mechanice kwantowej istnieje zależność, którą łatwo wyprowadzić, czyli udowodnić. Mówi ona, że zmiany w czasie średniej z pomiarów danej wielkości (oznaczanej jako śrA) równają się średniej z pochodnej po czasie operatora tej wielkości  i pewnego wyrażenia zawierającego komutator tego operatora i operatora hamiltonowskiego H. Matematycznie, wyrażenie ma postać:

d(śrA)/dt = śr(i[H, Â]/ ħ + dÂ/dt)

A więc nasza średnia wartość pędu będzie niezmienna w czasie (d(śrP)/dt = 0) gdy [H, P] = 0 i dP/dt = 0. Drugie wyrażenie jest równe zero, bo operator pędu nie zależy jawnie od czasu. Przyjrzyjmy się teraz komutatorowi i wróćmy do równania: P = ħ (Ô – Î)/-is.

Można sprawdzić i można też przyjąć na wiarę, że operatory przesunięcia Ô i identyczności Î komutują z operatorem hamiltonowskim. Komutacja Ô z H pokazuje, że przesunięcie w przestrzeni nie zmienia hamiltonianu, bo przestrzeń jest jednorodna i każdy punkt jest taki sam. Jeśli komutują Ô i Î, to komutuje też operator pędu P. Z tego wynika, że średnia wartość pędu w naszym izolowanym układzie pozostaje niezmienna. Pęd jest więc zachowany. We wzorze tkwi średnia wartość pędu, bo pamiętamy o relacji nieoznaczoności. Pęd jest jednoznacznie określony tylko w stanie własnym pędu, w którym układ nie musi się znajdować. W innych stanach można otrzymywać różne jego wartości, i wtedy bierze się średnią z wyników pomiarów. I ona nam się nigdy nie zmieni.

Poprzez analogiczne rozumowanie można otrzymać operator T przesunięcia (τ) w czasie: T = exp (-i τ H/ ħ) i operator obrotu R o kąt φ wokół osi równoległej do wektora jednostkowego n: exp (-inφ L/ ħ). Operatory H (hamiltonowski) i L (momentu pędu) nie zależą jawnie od czasu. Można wykazać, że L komutuje z H, a H oczywiście komutuje sam z sobą. Tak więc średnie wartości energii i momentu pędu też nie zmieniają się w czasie; są stałe, czyli są zachowane.

MACIEJ PANCZYKOWSKI

 Autor wortalu: Maciej Panczykowski, Copyright © 2003-2018 by Maciej Panczykowski