Nauki przyrodnicze
MENU
STRONA GŁÓWNA
Przyroda polska
Zdjęcia natury
Fizyka teoretyczna
Biologia teoretyczna
Biochemia
Biologia molekularna
Ornitologia
Rośliny Polski
Botanika
Zoologia
Internetowe ZOO
Związki czynne roślin
Pierwiastki
chemiczne
Chemia nieorg.
Chemia organiczna
Ciekawostki
biologiczne
Ciekawostki
fizyczne
Ciekawostki
chemiczne
Ciekawe książki
Ciekawe strony www
Słownik

INFO
INFO O AUTORZE
KONTAKT

Do działu: FIZYKA TEORETYCZNA →

Szczególna teoria względności

Szczególna teoria względności (STW) została sformułowana w 1905 roku przez wybitnego fizyka – Alberta Einsteina. Stworzenie jej zajęło mu tylko 6 tygodni. To bardzo krótko w porównaniu z 9-letnim okresem dojrzewania ogólnej teorii względności w umyśle wielkiego Einsteina.

STW opiera się na szczególnej zasadzie względności, która mówi, że:

Wszystkie prawa fizyki mają taką samą postać w każdym inercjalnym układzie odniesienia.

Inercjalny układ odniesienia (UI) to taki, którego wektor prędkości jest niezmienny (stała wartość prędkości, kierunek i zwrot).
W nazwie zasady i teorii słowo: „szczególna” bierze się stąd, że dotyczą one tylko wybranej klasy układów odniesienia: układów inercjalnych.

Treść szczególnej zasady względności podana została w 1904 roku przez francuskiego matematyka – Henri Poincare’a.
Doskonała intuicja Einsteina kazała mu dokonać trafnego wyboru. Założył on bowiem, że szczególna zasada względności jest zawsze prawdziwa i postanowił wyciągnąć z tego pewnika logiczne konsekwencje.
Prawa Newtona nie budziły w owym czasie wątpliwości co do swej identycznej postaci w każdym układzie inercjalnym. Problem pojawiał się w przypadku praw elektromagnetyzmu, mających postać równań Maxwella. W równaniach tych występowała prędkość światła c. Aby postać ich była taka sama w każdym UI, to trzeba było przyjąć, że w każdym UI prędkość światła ma taką samą wartość c.
Już w 1887 roku istniały doświadczalne przesłanki na korzyść założenia stałości c, pochodzące z eksperymentu Michelsona-Morleya. Einstein nie znał ich, ale i tak słusznie postanowił się tego założenia trzymać. Zaraz zobaczymy do jakich rewolucyjnych wniosków to doprowadza.

Matematyka STW jest elementarna i już licealiście nie powinna stwarzać problemów. Jednak, trudność w STW stanowi rozumienie jej sensu fizycznego i filozoficznych wniosków z niej płynących. Jest tak dlatego, że efekty charakterystyczne dla STW pojawiają się przy prędkościach tak dużych, że w codziennym życiu nie mamy z nimi do czynienia. A trudne i zaskakujące jest zawsze to, co nie leży w sferze powszechnych doznań; to z czym nie jesteśmy obyci.

Dla ułatwienia, w tym artykule skupimy się tylko na jednym wymiarze przestrzennym i jednym czasowym. W tym celu w naszych modelach zjawisk będą stale występować 2 inercjalne układy współrzędnych: układ L’ i układ L, poruszający się względem L’ ze stałą prędkością wzdłuż osi OX’. W wymiarach przestrzennych: Y i Z, prostopadłych do kierunku ruchu układu L, nie będziemy obserwować żadnych zmian ani efektów.

DYLATACJA (ZWOLNIENIE) CZASU

Wyobraźmy sobie zegar świetlny, który spoczywa w układzie L. Składa się on z 2 luster odległych od siebie o dystans l, między którymi odbija się foton. Jedno tyknięcie zegara następuje wtedy gdy foton odbije się od górnego lustra i wróci z powrotem do dolnego.
Obserwator w układzie L stwierdzi, że czas jednego tyknięcia jego zegara będzie wynosił Δt = 2l/c. Obserwator w układzie L’ będzie widział zegar obserwatora L poruszający się podczas tyknięcia z prędkością v w prawo.

stw1

Z prostej zależności dla trójkąta prostokątnego (twierdzenie Pitagorasa) można stwierdzić, że czas tyknięcia Δt’ dla obserwatora L’ będzie dłuższy, bo skoro światło ma taką samą prędkość c i ma do pokonania większy dystans, to musi to trwać dłużej.
Tak więc, skoro jedno tyknięcie trwa dłużej, to dla obserwatora L’ zegar obserwatora L chodzi wolniej.

stw2

Powyższy, ścisły wzór na zależność Δt’ od Δt potwierdza nasze rozważania. Im większa prędkość v ruchu zegara, tym większa obserwowana u niego dylatacja czasu.

PARADOKS BLIŹNIĄT

Skoro dla obserwatora L’ czas w układzie L mija wolniej, to obserwator L powinien wolniej się starzeć. Spróbujmy w obydwóch układach umieścić bliźnięta. Załóżmy, że układ L’ związany jest z Ziemią, a układ L to rakieta, która wyrusza w przestrzeń kosmiczną i po pewnym czasie powraca. Sytuacja na pozór wydaje się prosta: bliźnię z rakiety powinno wrócić młodsze, bo czas dla niego biegł wolniej.
Gdy się jednak zastanowimy, to stwierdzimy, że sytuacja jest symetryczna. Względem bliźniaka w rakiecie, to Ziemia się oddala (porusza się) i to Ziemianie po powrocie rakiety powinni być młodsi.
Jak rozwiązuje się ten problem? Otóż, przy starcie rakiety, bliźnię-kosmonauta doznawało działania sił bezwładności, wciskających je w fotel. Bo bliźnię włączyło silniki i rakieta przyspieszała. Względem rakiety Ziemia przyspieszała w odwrotnym kierunku. Ale na Ziemi nikt nie doznawał działania sił bezwładności podczas startu rakiety. Jest tak dlatego, że ruch z przyspieszeniem nie jest względny i ten kto przyspiesza (i doznaje sił bezwładności) porusza się naprawdę. A więc, w rzeczywistości to rakieta poruszała się względem Ziemi i to bliźnię-kosmonauta wróci młodsze.

SKRÓCENIE LORENTZA

Umieśćmy teraz zegar świetlny w układzie L równolegle do kierunku ruchu. W tym układzie zegar spoczywa i czas jednego tyknięcia też będzie wynosił Δt = 2l/c.
Względem obserwatora L’ zegar się porusza z prędkością v. Po emisji fotonu zegar będzie mu uciekać i w czasie Δt’1 pokona on dodatkowo trasę vΔt’1, a po odbiciu zegar będzie wychodzić fotonowi naprzeciw i pokona trasę mniejszą o vΔt’2.

stw3

Dokonujemy obliczenia całkowitego czasu tyknięcia dodając Δt’1 + Δt’2. Potem korzystamy z otrzymanego wzoru na dylatację czasu i z relacji Δt = 2l/c.

stw4

Okazuje się, że odległość l’ pomiędzy płytkami zegara świetlnego jest przez obserwatora L’ postrzegana jako krótsza. A więc ciała, które są względem nas w ruchu będą postrzegane przez nas jako skrócone w kierunku ruchu. Ze ścisłego wzoru, ukazującego zależność pomiędzy l’ i l, widzimy, że wielkość skrócenia zależy rosnąco od prędkości v.

WZGLĘDNOŚĆ RÓWNOCZESNOŚCI

Spróbujmy teraz zsynchronizować 2 zegary odległe o Δx, które w układzie L spoczywają. Dokładnie w środku między nimi umieszczamy źródło fotonów. Po emisji fotony docierają w tym samym czasie do zegarów, które w momencie odbioru sygnałów rozpoczynają pracę (od tej samej godziny).
W układzie spoczynku zegarów, rozpoczną one prace w tym samym czasie. Ale czy ta równoczesność to postrzeżenie unikalne czy uniwersalne?
Zegary poruszają się względem układu L’. Zegar po lewej będzie „wychodził naprzeciw” fotonowi, a więc foton będzie miał do przebycia krótką drogę, bo część vtA drogi Δx/2 pokona już zegar. Jako, że foton ma zawsze prędkość c, to krótsza droga zajmie mu krótszy czas. A więc zegar po lewej zostanie uruchomiony szybko.
Zegar po prawej ucieka fotonowi, więc foton musi pokonać drogę Δx/2 + drogę zegara vtB. Jako, że foton ma zawsze prędkość c, to dłuższa droga zajmie mu dłuższy czas. A więc zegar po prawej zostanie uruchomiony późno.

stw10

Różnicę pomiędzy odczytami obydwóch zegarów nazywamy błędem synchronizacji Δts. Został on obliczony poniżej.

stw5

Błąd synchronizacji rośnie ze wzrostem prędkości v i odległości zdarzeń. Widzimy zatem, że równoczesność jest zjawiskiem względnym. To, co jeden obserwator postrzega jako jednoczesne, inny będzie postrzegał jako sekwencję zdarzeń: wcześniejszego i późniejszego.

TRANSFORMACJE LORENTZA

Spróbujmy teraz wyprowadzić wzory, które pokazują zależności pomiędzy współrzędnymi zdarzeń, mierzonymi w różnych układach inercjalnych. Dzięki nim będziemy znać współrzędną zdarzenia w jednym UI, mając dane współrzędne z innego UI.

Współrzędna x zdarzenia oznacza jego odległość od początku układu L. W układzie L’ ta współrzędna będzie postrzegana jako lorentzowsko skrócona: x[1 – (v2/c2)]1/2
Sam początek L oddala się od początku układu L’ o dystans vt’ (zwiększa się z czasem). A zatem współrzędna x’ tego zdarzenia będzie wynosić:

stw6

Widzimy, że zarówno współrzędna przestrzenna jak i czasowa zależą od współrzędnych: przestrzennej i czasowej innego układu.

Otrzymane wzory przedstawiają transformacje Lorentza – ścisłe i prawdziwe zależności pomiędzy współrzędnymi różnych układów inercjalnych. Jako pierwszy wyprowadził je w 1904 roku holenderski fizyk – Hendrik Lorentz.

Transformacje Galileusza:
x’ = x + vt, y = y’, z = z’, t = t’
przedstawiają zależności przybliżone, obowiązujące z zadowalającą dokładnością tylko dla prędkości małych w porównaniu z prędkością światła c.

RELATYWISTYCZNE SKŁADANIE PRĘDKOŚCI

Wyobraźmy sobie ciało poruszające się z prędkością u = x/t w układzie L, który to porusza się z prędkością v względem układu L’. Jaką prędkość u’ będzie miało to ciało względem układu L’? Wzór na u’ otrzymamy dzieląc x’ przez t’ i podstawiając wzory na te wielkości (z transformacji Lorentza):

stw7

Widzimy, że wzór na u’ nie jest prostą sumą u + v, jak wynikałoby to z fizyki przedrelatywistycznej. Istnieje jeszcze skomplikowana „poprawka” w mianowniku.
Wynika ona z tego, że prędkości u’ i v są mierzone w innym układzie odniesienia niż prędkość u. Dlatego zwykłą sumę trzeba dzielić jeszcze przez ujednolicającą poprawkę.

Zauważmy, że jeśli w układzie L wypuścimy foton (o prędkości c), to jego prędkość względem układu L’ będzie wynosić: (c+v)/[1+(cv/c2)] = (c+v)/[1+(v/c)] = c.
Jest to zgodne z pierwotnym założeniem o stałości prędkości światła c w każdym UI.

NIEZMIENNICZOŚĆ INTERWAŁU

Wiemy już, że pojedyncze współrzędne przestrzenne lub czasowe danego zdarzenia mogą mieć różną wartość w zależności o tego w jakim układzie inercjalnym są mierzone. A więc są względne.
Czy istnieje jednak wielkość, która ma taką samą wartość we wszystkich UI? Otóż jest. Stanowi ona kombinację współrzędnych czasowych i przestrzennych i nazywa się interwałem czasoprzestrzennym S. Oto wzór:

S2 = X2 + Y2 + Z2 – C2T2

Interwał jest w czterowymiarowej czasoprzestrzeni odpowiednikiem odległości 2 punktów w zwykłej przestrzeni 3-wymiarowej. Wiadomo, że jeśli będziemy obserwować 2 punkty z różnych 3-wymiarowych układów odniesienia, to ich współrzędne przestrzenne (rzuty na różne osie układów) będą się różnić, ale odległość między nimi pozostanie stała.

Poniżej udowodnimy, że interwały obliczane za pomocą współrzędnych z różnych UI są sobie równe. Użyjemy do tego wzorów transformacji Lorentza:

stw8

Dystans między dwoma punktami najszybciej pokonuje światło i to ono jest w stanie najszybciej przenieść informację z jednego punktu do drugiego. W czasie t (dzielącym zdarzenia w danym UI) światło pokonuje odległość ct.
Jeśli dwa zdarzenia oddzielone są przestrzennie bardziej niż o odległość ct, to interwał ma wartość dodatnią i jest on typu przestrzennego. Zdarzenia oddzielone takim interwałem nie mogą być w związku przyczynowo-skutkowym (nawet foton nie jest w stanie w czasie t pokonać odległości miedzy nimi).
Dla zdarzeń, które oddalone są dokładnie o dystans równy ct, interwał jest zerowy, a dla takich, które rozdziela odległość mniejsza od ct – interwał jest czasowy. Te dwa ostatnie interwały dotyczą zdarzeń w czasoprzestrzeni, które mogą być powiązane związkiem przyczynowo-skutkowym.
Jako, że interwał ma taką samą wartość dla każdego UI, to związki przyczynowo-skutkowe nie są względne i są postrzegane tak samo przez każdego obserwatora. Nie może być tak, że w jednym UI przyczyna poprzedza skutek, a w innym – skutek poprzedza przyczynę. Albo tak, że w jednym UI przyczyna ma skutek, a w drugim UI - nie ma.

Widzimy więc, że nazwa: „teoria względności” (ukuta zresztą nie przez Einsteina, ale przez Maxa Plancka w 1906 roku), nie jest zbyt trafna i może być myląca.
W teorii tej mamy bowiem do czynienia nie tylko z wielkościami względnymi, ale także z bezwzględnymi, czyli postrzeganymi tak samo z każdego UI (prędkość światła c, interwał czasoprzestrzenny, relacja przyczyna-skutek).

MASA RELATYWISTYCZNA

Jeśli założymy, że zasady zachowania: masy całkowitej i pędu są zawsze prawdziwe, to jeden z wniosków, jaki z nich wynika, mówi, że masa ciała spoczywającego w układzie poruszającym się względem nas z prędkością v musi mieć dla nas wartość m:

stw9

gdzie: m0 – masa spoczynkowa (masa stwierdzona w UI, w którym ciało spoczywa)

Wyraz powyższy można rozwinąć w szereg potęgowy:

m = m0 / [1 – (v2/c2)]1/2 = m0 (1 + ½ v2/c2 + 3/8 v4/c4 +....)

Jeśli pomnożymy to wyrażenie obustronnie przez c2, to otrzymamy:

mc2 ≈ m0c2 + ½ m0v2

Po prawej stronie widzimy znajomy wzór na energię kinetyczną cząstki: ½ m0v2. Najwyraźniej nie jest to jedyna energia, jaką ma poruszające się ciało. Drugi wyraz ma postać:

Es = m0c2

Jest to wzór na energię spoczynkową ciała – nową postać energii, którą ma każde ciało o niezerowej masie spoczynkowej.

Energia całkowita ciała ma ogólną postać:

E = mc2

gdzie: E – całkowita energia ciała, m – masa relatywistyczna ciała

Jest to bodaj najsłynniejszy wzór fizyki. Przedstawia on równoważność masy i energii. Masę można zawsze przeliczyć na energię i odwrotnie.
Przelicznikiem jest stała wartość: c2

W sformułowaniu STW bardzo pomogła Einsteinowi inspirująca idea Ernsta Macha. Mówi ona, że nie ma sensu wprowadzać do fizyki wielkości (np. czas, długość) istniejących absolutnie, w oderwaniu od rzeczy. Są one definiowane tylko i wyłącznie poprzez pomiar. Dla każdego obserwatora wielkość ma taką wartość, jaka otrzymana została w przeprowadzonej przez niego procedurze pomiaru.
Stąd taka częsta obecność zegarów świetlnych i prętów w układach inercjalnych modelujących zjawiska relatywistyczne.

W swej istocie STW mówi nam, że:

Jeżeli różni obserwatorzy, z różnych UI, patrzą na jedno i to samo zjawisko, to pomiary związanych z nim wielkości względnych dają różne wyniki, bo wskutek różnych ruchów względnych, informacja o zjawisku dociera do tych obserwatorów w różnej formie.

MACIEJ PANCZYKOWSKI

 Autor wortalu: Maciej Panczykowski, Copyright © 2003-2018 by Maciej Panczykowski