Nauki przyrodnicze
MENU
STRONA GŁÓWNA
Przyroda polska
Zdjęcia natury
Fizyka teoretyczna
Biologia teoretyczna
Biochemia
Biologia molekularna
Ornitologia
Rośliny Polski
Botanika
Zoologia
Internetowe ZOO
Związki czynne roślin
Pierwiastki
chemiczne
Chemia nieorg.
Chemia organiczna
Ciekawostki
biologiczne
Ciekawostki
fizyczne
Ciekawostki
chemiczne
Ciekawe książki
Ciekawe strony www
Słownik

INFO
INFO O AUTORZE
KONTAKT

Do działu: FIZYKA TEORETYCZNA →

Podstawy ogólnej teorii względności

Ogólna teoria względności (OTW) została sformułowana przez Alberta Einsteina pod koniec 1915 roku. Ten wielki fizyk pracował nad nią przez 9 lat (1906-1915), a więc nie była ona wynikiem nagłego i wielkiego olśnienia. Wiadomo, że Einstein, usiłując sformułować podstawowe równanie OTW, wielokrotnie błądził, a kiedy już odnalazł jego prawidłową postać, skreślił ją, by po dwóch latach ponownie do niej wrócić.
Wszystko to nie zmienia jednak faktu, że ogólna teoria względności jest największym dziełem w historii fizyki, stworzonym przez jednego człowieka. Jest też najdokładniejszą teorią grawitacji, jaką ludzkość na dzień dzisiejszy dysponuje.

Do pełnego zrozumienia ogólnej teorii względności potrzebna jest wyrafinowana i zawiła matematyka, a więc w tym artykule, wprowadzającym w tą wielką teorię, przedstawię tylko sens fizyczny podstawowych idei i równań OTW.

Zacznijmy naszą podróż od przypomnienia sobie pewnego prawa fizycznego, które zostało odkryte przez Newtona. Jest to pierwsza zasada dynamiki, zwana też zasadą bezwładności. Mówi ona, że jeśli na ciało nie działają siły, to porusza się ono jednostajnie (stała prędkość), po linii prostej. Spójrzmy na poniższy rysunek 1. Obserwator umieszczony w windzie, poruszającej się ze stałą prędkością po prostej (układ inercjalny), postrzeże ciało rzucone w poprzek windy, jako poruszające się po linii prostej. Będzie tak dlatego, że w każdej chwili ciało będzie jednakowo oddalone od podłogi, bo porusza się ono też w górę z taką samą prędkością, co winda (ma jej prędkość). Co się jednak stanie, gdy sama winda dozna przyspieszenia do góry i stanie się ona układem nieinercjalnym ? Spójrzmy na rysunek 2 poniżej.

W momencie rzucenia w poprzek windy, ciało będzie miało taką prędkość do góry, jaką miał rzucający obserwator w czasie rzutu. I nie będzie ono już dalej przyspieszać. Ale winda będzie przyspieszać przez cały czas. Wskutek tego, w każdej chwili, podłoga windy będzie przybliżać się do ciała i jego tor będzie postrzegany jako zakrzywiony w dół.

Zakrzywienie toru w dół wskazuje na to, że pod podłogą windy znajduje się źródło siły (bo jak wiadomo, gdy nie ma sił, tor jest prostoliniowy). Ale problem w tym, że pod podłogą żadnych źródeł sił nie ma, a mimo to tor ciała nie jest linią prostą. Pozostaje nam więc wyciągnąć wniosek mówiący, że nasze prawo fizyki - zasada bezwładności obowiązuje tylko w układach inercjalnych. Jest to wniosek zgodny ze szczególną zasadą względności, która głosi, że prawa fizyki są takie same we wszystkich inercjalnych układach odniesienia.
Nam marzy się jednak ogólna zasada względności, która nie wyróżnia żadnego układu odniesienia, ale mówi, że prawa fizyki są takie same we wszystkich układach odniesienia (także tych nieinercjalnych). Co musielibyśmy zrobić, by uratować zasadę bezwładności w układzie nieinercjalnym ? Przecież krzywa nie jest prostą...

Na szczęście są takie przestrzenie, w których linia krzywa może być prostą. Jest tak w tzw. przestrzeniach zakrzywionych. Taka krzywa-prosta zwana jest tam geodetyką.
Teraz zasada bezwładności w układzie nieinercjalnym jest uratowana. Ogólna zasada względności wymaga tylko przyjęcia, że przestrzeń w obrębie takiego układu jest zakrzywiona. Na ciało nie działają żadne siły i porusza się ono po geodetyce (prostej w przestrzeni zakrzywionej).

Co mają jednak wspólnego powyższe rozważania z grawitacją ? Mają bardzo dużo, ale musimy najpierw poznać bodaj najgenialniejszą myśl, jaka przeszła Einsteinowi przez głowę.
Zauważył on, że w obrębie danego układu odniesienia, nie da się odróżnić czy na masę m działa siła mg w polu grawitacyjnym, czy układ ten (z masą m) porusza się do góry z przyspieszeniem a = g. Jest to tzw. zasada równoważności. Na przykład, gdy winda przyspiesza do góry, jesteśmy wciskani w podłogę. Dokładnie taki sam objaw otrzymamy, gdy postawimy windę w jednorodnym (takim samym w każdym punkcie) polu grawitacyjnym, o natężeniu g odpowiadającym temu przyspieszeniu.

zasada równoważności

Zasada równoważności jest ścisła i nieunikniona, bo:
  • Masa bezwładna mb i masa grawitacyjna mg są równe. Masa bezwładna jest miarą reakcji ciała na siłę zmieniającą jej prędkość. Występuje ona we wzorze: F = mba (a - przyspieszenie). Masa grawitacyjna bierze udział w generowaniu siły grawitacyjnej między dwoma ciałami: F = G Mg mg / r2 (G - stała grawitacyjna, r - odległość 2 ciał). W naszej windzie, postawionej na powierzchni Ziemi, siła grawitacyjna wynosi: mgg (g - przyspieszenie ziemskie), a pozorna "siła" bezwładności, wciskająca w podłogę w układzie nieinercjalnym, równa się: mbg. Efekty tych sił są nierozróżnialne, właśnie dlatego, że mg = mb.
  • Każde ciało jest obdarzone jakąś energią-masą, która stanowi coś na kształt "ładunku grawitacyjnego". Ładunku tego nie da się wygasić, bo nie istnieje ciało bez energii-masy. Dlatego każde ciało w polu grawitacyjnym zawsze będzie wciskane w podłogę. W przypadku np. windy w polu elektrostatycznym, można umieścić w niej ciało pozbawione ładunku i wtedy nie będzie ono wciskane w podłogę. Będzie można wtedy odróżnić układ nieinercjalny od układu w polu elektrostatycznym i równoważność w tym przypadku nie będzie obowiązywać.
Widzimy zatem, że jeżeli układ nieinercjalny jest równoważny układowi inercjalnemu z odpowiednim polem grawitacyjnym, to możemy rozumować w następujący sposób:
  • Sam układ inercjalny nie zawiera zakrzywionej przestrzeni
  • Osobliwy ruch ciał (jakby spowodowany siłą) w układzie nieinercjalnym tłumaczy obecność w jego obrębie zakrzywionej przestrzeni
  • Osobliwy ruch ciał w układzie inercjalnym z polem grawitacyjnym jest taki sam, jak w równoważnym układzie nieinercjalnym. Tłumaczy się to obecnością pola grawitacyjnego, które ma zawsze źródło w masach.
a więc...możemy utożsamić pole grawitacyjne z zakrzywieniem przestrzeni, czyli...

KAŻDA MASA JEST ŹRÓDŁEM ZAKRZYWIENIA OTACZAJĄCEJ JĄ PRZESTRZENI

Przypomnijmy sobie teraz po krótce wiadomości z klasycznej teorii grawitacji. Każde pole grawitacyjne charakteryzowane jest w każdym punkcie przez wektor U natężenia pola (pole wektorowe). Źródłem tego pola jest masa. Z matematyki wiadomo, że dywergencja pola wektorowego jest niezerowa jedynie w punktach, gdzie znajduje się jego źródło. Oto wzór dla pola grawitacyjnego:

ogólna teoria względności 1

gdzie: odwrócony trójkąt z kropką to dywergencja, U - natężenie pola grawitacyjnego, ρ - gęstość materii, G - stała grawitacyjna

Pole grawitacyjne stałe w czasie (niezmienne) jest polem zachowawczym, czyli praca wykonana między dwoma punktami tego pola zależy tylko od tych punktów, a nie drogi między nimi. Każdemu punktowi możemy więc przypisać charakteryzujący go potencjał (określamy funkcję). Taka funkcja, określona dla przestrzeni, w której występuje pole grawitacyjne, ma ciekawą własność. Jej gradient (ze znakiem minus) wyznacza wektor natężenia pola. Oto wzór:

ogólna teoria względności 2

gdzie: odwrócony trójkąt to gradient, U - natężenie pola grawitacyjnego, φ - potencjał pola grawitacyjnego

Możemy teraz połączyć dwa powyższe wzory by otrzymać jedno równanie (skalarne). Jest to słynne równanie Poissona:

ogólna teoria względności 3

gdzie: odwrócony trójkąt do kwadratu to tzw. laplasjan (∂2/∂x2 + ∂2/∂y2 + ∂2/∂z2), φ - potencjał pola grawitacyjnego, ρ - gęstość materii, G - stała grawitacyjna

Z równania widać, że rozkład materii w przestrzeni (prawa strona równania) pozwala wyznaczyć, obliczyć (przez całkowanie) potencjał pola grawitacyjnego, którego źródłem jest ów rozkład.

Musimy pamiętać, że powyższy klasyczny wzór obowiązuje jedynie dla pól statycznych i słabych. To jednak ten wzór posłużył wielkiemu Einsteinowi jako punkt wyjścia do sformułowania słynnego równania pola OTW. Ale po kolei...

Einstein zdał sobie sprawę, że w teorii relatywistycznej prawa strona równania, która oznacza rozkład materii, nie może być jedną liczbą. Musi mieć ona charakter tensorowy, czyli być tablicą 16 liczb. Tensor to wektor wyższego rzędu. W przestrzeni 4-wymiarowej (np. czasoprzestrzeni charakterystycznej dla fizyki relatywistycznej) wektor ma 4 składowe (czasową i 3 przestrzenne). Tensor drugiego rzędu ma 42 = 16 składowych, przedstawianych w formie tablicy 4 x 4.

A więc prawa strona równania Einsteina przyjęła postać tensora energii-pędu Tμν, przedstawiającego przepływ każdej z 4 składowych czterowektora pędu przez 4 powierzchnie (każda o jednej stałej współrzędnej czasoprzestrzennej z czterech). Kombinacji jest tutaj 16 i tyle składowych ma tensor energii-pędu. Skomplikowana postać tensorowa jest wymagana przez fizykę relatywistyczną i potrafi uchwycić wszystkie przyczynki do energii-masy dla każdego obserwatora.

Jeśli prawa strona równania ma charakter tensorowy, to wymóg uniwersalności prawa fizycznego wymaga, aby lewa strona miała identyczny charakter - również tensorowy (także 16 składowych). Spoglądając na lewą stronę równania Poissona widzimy, że powinna ona mieć związek z polem grawitacyjnym. Wiemy już, że zgodnie z zasadą równoważności, możemy utożsamiać pole grawitacyjne z zakrzywieniem przestrzeni. A więc po lewej stronie powinien pojawić się tensor związany z krzywizną czterowymiarowej przestrzeni relatywistycznej (czasoprzestrzeni). Jaki to tensor ?

Zanim odpowiemy na to pytanie, przyjrzyjmy się bliżej rozmaitościom różniczkowym. Rozmaitość różniczkowa jest tylko kolekcją punktów, które ciągle w siebie przechodzą. Nie ma ona żadnej struktury.
Jeśli jednak w takiej rozmaitości różniczkowej zdefiniujemy sposób mierzenia odległości pomiędzy punktami, to otrzymamy już pewną przestrzeń (tzw. rozmaitość riemannowską). Odległość pomiędzy punktami wyznaczana jest przez tensor metryczny. W przestrzeniach płaskich składowe owego tensora mogą mieć wszystkie wartości stałe (zależy to od wyboru układu współrzędnych), natomiast przestrzenie zakrzywione nigdy nie mają wszystkich składowych stałych. Tensor metryczny całkowicie determinuje krzywiznę przestrzeni.

Weźmy przykład czterowymiarowej czasoprzestrzeni układu inercjalnego. Odległość (Δs) w niej obliczamy następująco:

Δs2 = Δx2 + Δy2 + Δz2 - c2Δt2

Widzimy że odległość (właściwie jej kwadrat) zależy od kwadratów przyrostów poszczególnych współrzędnych i nie ma w tym wyrażeniu członów mieszanych. Jeśli odłożymy kolejne przyrosty współrzędnych pionowo i poziomo i zauważymy, że człony: Δx2, Δy2, Δz2 mnożone są po prostu przez 1, a człon c2Δt2 - przez -1, to nasz tensor metryczny ημν będzie miał postać tablicy:

tensor metryczny

Jak widać, wszystkie współczynniki tego tensora są stałymi, więc przestrzeń układu inercjalnego jest płaska.

Czy tensor metryczny jest tym szukanym tensorem lewej strony naszego równania ? Otóż nie. Dzieje się tak z dwóch powodów:
  • Gdyby tensor po prawej stronie był zerowy (przestrzeń bez materii), to jego strona lewa również musiałaby mieć wszystkie składowe zerowe. A nie istnieją przestrzenie z tensorem metrycznym mającym same zerowe współczynniki, bo oznaczałoby to brak jakiejkolwiek odległości pomiędzy punktami.
  • Skoro tensor metryczny determinuje krzywiznę, a tę ostatnią możemy utożsamiać z polem grawitacyjnym, to analogia z równaniem Poissona nakazuje szukać nie tyle tensora metrycznego, co tensora składającego się z drugich pochodnych tensora metrycznego po współrzędnych czasoprzestrzeni.
Matematyka zna taki tensor. Jest to tzw. tensor krzywizny Riemanna Rσμβν. Oto wzór jego zależności od drugich pochodnych tensora metrycznego g (niestety dość karkołomny, mimo że uproszczony, bo pomijający składniki nieliniowe):

tensor Riemanna

W powyższym wzorze, współrzędne: x, y, z i t są oznaczane przez: x1, x2, x3 i x4.

Tensor Riemanna mierzy krzywiznę w danym punkcie przestrzeni. Jeśli wszystkie jego składowe w danym punkcie są zerowe, to przestrzeń jest płaska, a jeśli nie - to ma ona krzywiznę.
Z tensorem krzywizny jest jednak inny problem. Ma on 4 indeksy: σ, μ, β i ν. Każdy z tych indeksów przyjmuje w czterowymiarowej czasoprzestrzeni niezależnie 4 wartości: 1,2,3 i 4. A więc mamy 4 x 4 x 4 x 4 = 44 = 256 składowych tego tensora, a to jest za dużo jak na naszą lewą stronę.

Istnieje na szczęście tensor, który jest wersją okrojoną tensora Riemanna (jest tzw. zwężeniem). Jest to tensor Ricciego. Ma on 16 składowych z których każda zawiera następującą sumę składowych tensora Riemanna:

Rμν = R1μ1ν + R2μ2ν + R3μ3ν + R4μ4ν

Początkowo Einstein myślał, że znalazł kandydata do lewej strony równania OTW. Był jednak pewien problem. Z zasady zachowania energii i pędu wynika, że dywergencja tensora energii-pędu (prawej strony) powinna wynosić zero. Natomiast dywergencja tensora Ricciego nie wynosi zero, więc nie może on widnieć po lewej stronie tożsamości.
Na szczęście okazało się, że istnieje tensor pokrewny tensorowi Ricciego, który ma znikającą dywergencję. Jest to tensor Einsteina Gμν:

Gμν = Rμν - ½ gμνR

gdzie: gμν - tensor metryczny, R - skalar Ricciego (ze zwężenia tensora Ricciego)

Możemy teraz pokusić się o zapis poszukiwanego od dawna równania OTW:

Gμν = stała · Tμν

W powyższym równaniu występuje bliżej nieokreślona stała, bo z warunku zerowania się dywergencji obydwu stron wynika, że są one albo ściśle równe (stała = 1), albo proporcjonalne. Dla słabych i stałych pól, nasze równanie OTW powinno przechodzić w równanie Poissona. Dzieje się tak, gdy stała przyjmuje wartość -8πG/c2.
A więc nareszcie możemy napisać centralne równanie OTW, czyli równanie Einsteina, w pełnej krasie:

Rμν - ½ gμνR = (-8πG/c2) Tμν

Jest to równanie tensorowe, czyli właściwie zastępuje ono 16 równań (1 równanie dla każdej z 16 składowych tensorów po jego obydwu stronach). W rzeczywistości jednak, równań będzie mniej niż 16. Jest tak dlatego, że tensory równania Einsteina są symetryczne, czyli składowe o odwróconych indeksach są sobie równe: Gμν = Gνμ, np. G12 = G21. Dodatkowo mamy jeszcze składowe po przekątnej tablicy równe samym sobie: G11, G22, G33, G44. A więc niezależnych składowych (czyli niedających się wyprowadzić z pozostałych) wydaje się być: 12/2 + 4 = 10.
W rzeczywistości jest ich tylko 6, gdyż są one jeszcze dodatkowo powiązane tzw. tożsamościami Bianchiego.

Równanie Einsteina pozwala wyznaczyć tensor metryczny czasoprzestrzeni, mając dany rozkład materii-energii po prawej stronie. Jak pamiętamy, tensor metryczny w pełni determinuje krzywiznę.
Co ciekawe, równanie to zostało wyprowadzone również przez matematyka - Davida Hilberta, w tym samym roku, w którym dokonał tego wielki Albert Einstein. Hilbert zrobił to w sposób bardziej elegancki matematycznie, ale korzystał on z fizycznych idei Einsteina i nie wyprowadził z równania żadnych przewidywań.

Szybko po sformułowaniu słynnego równania OTW, Einstein zorientował się, że zastosowane do Wszechświata, nie przewiduje ono rozwiązań statycznych. A Einstein głęboko wierzył w wieczną niezmienność naszego Uniwersum. Dlatego wprowadził on do równania OTW równoważący człon antygrawitacyjny, zawierający stałą kosmologiczną Λ. Oto zmodyfikowane równanie:

Rμν - ½ gμνR + Λgμν = (-8πG/c2) Tμν

Kiedy w 1929 roku, Edwin Hubble udowodnił, że Wszechświat rozszerza się, Einstein wycofał stałą kosmologiczną ze swego równania, nazywając ją największą pomyłką swego życia.
Dzisiaj okazuje się jednak, że może mieć ona niezerową wartość. Świadczą o tym dane z obserwacji astronomicznych, sugerujące, że Wszechświat, zamiast zwalniać ekspansję (wpływ grawitacji), rozszerza się coraz szybciej.

Ogólna teoria względności potrafiła wyjaśnić wszystkie zjawiska, z którymi radziła sobie jej poprzedniczka - teoria grawitacji Newtona. Ale ponadto:
  • Wyjaśniła przyczyny precesji peryhelium planet (szczególnie Merkurego)
  • Przewidziała istnienie czarnych dziur (potwierdzone obserwacyjnie)
  • Przewidziała zakrzywienie promieni świetlnych wokół mas (potwierdzone obserwacyjnie)
  • Przewidziała wpływ pola grawitacyjnego na mierzony upływ czasu (potwierdzone doświadczalnie)
  • Przewidziała istnienie fal grawitacyjnych (potwierdzone doświadczalnie)
OTW jest teorią klasyczną, czyli nie jest ona napisana w języku teorii kwantów. Fizycy obecnie głęboko wierzą, że język kwantowy jest językiem przyrody i dlatego OTW powinna zostać w przyszłości zastąpiona przez jeszcze lepszą, kwantową teorię grawitacji. Póki co, tej teorii nie udało się sformułować. Jej poszukiwania trwają.

MACIEJ PANCZYKOWSKI

 Autor wortalu: Maciej Panczykowski, Copyright © 2003-2018 by Maciej Panczykowski