Nauki przyrodnicze
MENU
STRONA GŁÓWNA
Przyroda polska
Zdjęcia natury
Fizyka teoretyczna
Biologia teoretyczna
Biochemia
Biologia molekularna
Ornitologia
Rośliny Polski
Botanika
Zoologia
Internetowe ZOO
Związki czynne roślin
Pierwiastki
chemiczne
Chemia nieorg.
Chemia organiczna
Ciekawostki
biologiczne
Ciekawostki
fizyczne
Ciekawostki
chemiczne
Ciekawe książki
Ciekawe strony www
Słownik

INFO
INFO O AUTORZE
KONTAKT

Do działu: FIZYKA TEORETYCZNA →

Moment pędu

Moment pędu to podstawowa i ważna wielkość fizyczna, związana z ruchem obrotowym ciał wokół osi. Ma ona charakter takiego wektora, który jest wynikiem iloczynu wektorowego wektora odległości ciała od osi i jego wektora pędu.

Ową zależność zapisujemy poniższym wzorem:

L = r x p

gdzie: L - wektor momentu pędu, r - wektor odległości od osi, p - wektor pędu, x - symbol iloczynu wektorowego.

Jako, że iloczyn wektorowy to dosyć skomplikowana operacja, postaramy się teraz rozpisać jak oblicza się składowe wektora, będącego wynikiem iloczynu wektorowego, mając dane składowe wektorów mnożonych: r = (x, y, z), p = (px, py, pz):

Lx = ypz - zpy
Ly = zpx - xpz
Lz = xpy - ypx

Jeżeli wektory r i p leżą np. w płaszczyźnie XY, to mają jedynie składowe x i y.
Z powyższych trzech wzorów łatwo obliczyć, że jedyną niezerową składową momentu pędu będzie wtedy składowa Lz, czyli ta prostopadła do płaszczyzny XY i mająca kierunek osi obrotu.
Jest to ogólna cecha każdego wektora, będącego wynikiem iloczynu wektorowego. Jest on zawsze prostopadły do płaszczyzny, w której znajdują się wektory składowe iloczynu. Wróćmy teraz do naszych wektorów z płaszczyzny XY i postarajmy się obliczyć pochodną Lz po czasie:

dLz/dt = d(xpy)/dt - d(ypx)/dt
dLz/dt = (dx/dt)mvy + xm(dvy/dt) - (dy/dt)mvx - ym(dvx/dt)
dLz/dt = vxmvy + xm(dvy/dt) - vymvx - ym(dvx/dt)
dLz/dt = xmay - ymax = xFy - yFx


Wielkość xFy - yFx to składowa zet tzw. momentu siły (τ). A więc ogólnie możemy napisać:

dL/dt = τ = r x F

Ostatni wzór oznacza, że wypadkowy moment siły działający na ciało równy jest szybkości zmian momentu pędu ciała.
Jest to odpowiednik znanego w fizyce wzoru: dp/dt = F
Jeśli wypadkowy moment siły równy jest zero, to moment pędu ciała nie zmienia się. Jest to tzw. zasada zachowania momentu pędu. Potocznie można ta zasadę ująć tak: "jeśli nic ciała nie rozkręca, to będzie się ono zawsze kręcić tak samo szybko (pomijając tarcie oczywiście)".
Istnieje jeszcze w matematyce i fizyce wzór, który pozwala obliczyć wartość całego wektora powstałego z iloczynu wektorowego. Ma on postać (na przykładzie momentu siły):

τ = rF sinα

gdzie: τ - wartość wektora momentu siły, r - odległość ciała od osi, F - wartość siły działającej na ciało, α - kąt pomiędzy wektorami odległości i siły.

Widzimy, że wartość momentu siły rośnie, gdy rośnie odległość ciała od osi i wartość działającej siły. Jeśli chodzi o kąt α, to daje on największe τ, gdy wynosi 90o (bo wtedy sinα = 1) oraz wartość minimalną: zero dla 0o i 180o (bo wtedy sinα = 0).
I to dlatego moment pędu Ziemi względem osi przechodzącej przez Słońce jest niezmienny. Po prostu, wektor odległości Ziemi od Słońca i wektor siły grawitacyjnej tworzą ze sobą kąt 180o (siła działa wzdłuż linii łączącej Ziemię i Słońce), czyli moment siły grawitacyjnej = 0.

Gdy ciało obraca się po torze kolistym, wektory odległości wszystkich jego punktów materialnych od osi i ich odpowiednie wektory pędu, tworzą ze sobą kąt 90o.
Zatem moment pędu całego ciała to:

L = ∑ ripi sin 90o = ∑ ripi = ∑ miviri

Każdy z punktów materialnych takiego ciała zakreśla w czasie dt taki sam kąt, więc każdy ma tę samą prędkość kątową ω = vi/ri. Możemy zatem zapisać:

L = ω ∑ miri2

Wielkość ∑ miri2 to tzw. moment bezwładności ciała. Jest on tym większy im masa tego ciała bardziej oddalona jest od osi obrotu. Oznaczamy go symbolem I.

L = Iω

Wzór powyższy jest odpowiednikiem znanego wzoru na pęd: p = mv. Wynika z niego, że jeżeli moment pędu ciała jest stały, a jego moment bezwładności maleje, to jego prędkość kątowa (obrotu) rośnie (i odwrotnie). Zależność tą można łatwo dostrzec obserwując łyżwiarkę, która kręci się na lodzie wokół własnej osi i nagle przyciąga ręce do siebie. Wtedy jej prędkość obrotów wyraźnie wzrasta.

MACIEJ PANCZYKOWSKI

 Autor wortalu: Maciej Panczykowski, Copyright © 2003-2018 by Maciej Panczykowski