Nauki przyrodnicze
MENU
STRONA GŁÓWNA
Przyroda polska
Zdjęcia natury
Fizyka teoretyczna
Biologia teoretyczna
Biochemia
Biologia molekularna
Ornitologia
Rośliny Polski
Botanika
Zoologia
Internetowe ZOO
Związki czynne roślin
Pierwiastki
chemiczne
Chemia nieorg.
Chemia organiczna
Ciekawostki
biologiczne
Ciekawostki
fizyczne
Ciekawostki
chemiczne
Ciekawe książki
Ciekawe strony www
Słownik

INFO
INFO O AUTORZE
KONTAKT

Do działu: FIZYKA TEORETYCZNA →

Równania Maxwella

Znakomity szkocki fizyk – James Clerk Maxwell był w swych młodych latach uznawany za cudowne dziecko. Choć często bywa tak, że wybujały rozwój w dzieciństwie kończy się przeciętnością w dorosłym życiu, to Maxwell przeczył tej zasadzie. W 1864 roku, gdy miał 33 lata, sformułował słynne równania pola elektromagnetycznego, nazwane od jego nazwiska - równaniami Maxwella. Są one powszechnie uważane za największe osiągnięcie fizyki pomiędzy czasami Newtona (koniec XVII wieku) i Einsteina (początek XX wieku).

W próżni równania Maxwella prezentują się następująco (w nowoczesnej postaci):

równania Maxwella

gdzie: odwrócony trójkąt (tzw. nabla) z kropką oznacza dywergencję, odwrócony trójkąt z krzyżykiem oznacza rotację, E – wektor pola elektrycznego, B – wektor pola magnetycznego, j – wektor gęstości prądu elektrycznego, ρ – gęstość ładunku elektrycznego, c – prędkość światła w próżni.

Powyższe równania i nazwy wyglądają trochę odstraszająco. Postarajmy się więc omówić je jakościowo. Z pierwszego równania wynika, że dywergencja pola elektrycznego jest niezerowa tylko w tym obszarze przestrzeni, w którym istnieje ładunek (ρ różne od zera). Cechą dywergencji (matematyczną) jest to, że jest ona niezerowa tylko w obszarach, które są zlewami lub źródłami pola, czyli w obszarach, do których lub od których skierowane są jego wektory. Łącząc dwa powyższe stwierdzenia o dywergencji, możemy wysunąć wniosek, że źródłami lub zlewami pola elektrycznego są ładunki elektryczne. I to jest treść pierwszego równania Maxwella.

Drugie równanie jest analogiczne, z tym, że tutaj widzimy, że dywergencja pola magnetycznego jest zawsze równa zero. A więc nie ma czegoś takiego, jak ładunek magnetyczny, a samo pole magnetyczne jest bezźródłowe. Matematycznie oznacza to, że do każdego obszaru przestrzeni "wpływa" zawsze tyle samo pola magnetycznego, co z niego "wypływa".

Trzecie równanie Maxwella mówi, że jeśli pole magnetyczne w danym obszarze zmienia się w czasie (δB/δt różne od zera), to rotacja pola elektrycznego jest również niezerowa. Matematycznie oznacza to tyle, że suma wektorów pola elektrycznego po zamkniętej pętli otaczającej ten obszar, ma niezerową, wypadkową wartość. Mówi się, że powstaje wtedy wirowe pole elektryczne.

Analogicznie, z czwartego równania Maxwella wynika, że wirowe pole magnetyczne tworzy się tylko wokół obszaru, w którym zmienia się pole elektryczne i/lub przez który przepływa prąd elektryczny.

Najbardziej znany jest zapis równań Maxwella w postaci 4 osobnych tożsamości. I to właśnie ten zapis przedstawiłem powyżej. Można jednak ująć te zależności w postaci tylko 2 równań, używając w tym celu eleganckiego obiektu matematycznego – tensora pola elektromagnetycznego.

Aby skonstruować ten tensor, musimy wyjść od dwóch, znanych w elektromagnetyzmie równań. Pokazują one zależność wektorów pola od potencjałów. Oto one:

Rozmiar: 472 bajtów
czyli: (Bx, By, Bz) = (δAz/δy – δAy/δz,    δAx/δz – δAz/δx,    δAy/δx – δAx/δy)

gdzie: B – wektor pola magnetycznego, A – wektor potencjału wektorowego, a nabla z krzyżykiem - to rotacja i drugie równanie:

Rozmiar: 927 bajtów
czyli: (Ex, Ey, Ez) = (-δφ/δx – (1/c)δAx/δt,     -δφ/δy – (1/c)δAy/δt,    -δφ/δz – (1/c)δAz/δt)

gdzie: E – wektor pola elektrycznego, φ – potencjał skalarny, a sama nabla – to tzw. operator gradientu

Z fizyki relatywistycznej wiadomo, że potencjał skalarny φ i trzy składowe wektora potencjału wektorowego (Ax, Ay, Az) budują tzw. czterowektor potencjału Aμ. Dokładnie rzecz biorąc ma on składowe:

Aμ = (Ax, Ay, Az, i φ) = (A1, A2, A3, A4)

gdzie: i – jednostka urojona (pierwiastek z minus jeden)

Musimy jeszcze zdefiniować relatywistyczny czterowektor położenia xμ w czasoprzestrzeni. Oto jego składowe:

xμ = (x, y, z, ict) = (x1, x2, x3, x4)

gdzie: i – jednostka urojona (pierwiastek z minus jeden), c – prędkość światła

Jesteśmy teraz gotowi do skonstruowania tensora pola elektromagnetycznego Fμν przez ujęcie powyższych dwóch równań oszczędnie, za pomocą tylko jednej zależności. Oto ona:

tensor pola elektromagnetycznego

Indeksy: μ oraz ν przybierają niezależnie wartości 1,2,3 i 4. A więc nasz tensor będzie miał 4 x 4 = 16 składowych. Obliczmy jego składowe (spoglądając na nasze dwie wyjściowe zależności pól od potencjałów):

F11 = F22 = F33 = F44 = 0
F12 = -F21 = Bz, F13 = -F31 = -By, F23 = -F32 = Bx
F14 = -F41 = -iEx, F24 = -F42 = -iEy, F34 = -F43 = -iEz

Warto to sobie rozpisać na kartce. Obliczenia trochę trwają, ale nie są trudne i dopiero wtedy dobrze się ten tensor rozumie.

Jeśli tensor ma takie własności, że składowe o tej samej wartości indeksów równe są 0 (Fμμ = 0), a składowe o przestawionych wartościach wskaźników są przeciwne
(Fμν = -Fνμ), to taki tensor nazywamy antysymetrycznym. I tą własność ma nasz tensor pola elektromagnetycznego.

Gdy mamy już tensor pola, to możemy pokusić się o sformułowanie równań Maxwella za jego pomocą. Jeśli przyjmiemy, że czterowektor gęstości prądu Jμ ma składowe:

Jμ = (jx/c, jy/c, jz/c, iρ) = (J1, J2, J3, J4)

gdzie: jx, jy, jz to składowe wektora gęstości prądu elektrycznego, ρ – gęstość ładunku elektrycznego

to możemy pierwsze i czwarte równanie Maxwella skompaktyfikować do jednego:

Rozmiar: 1131 bajtów

natomiast drugie i trzecie równanie Maxwella kompaktują się do poniższego:

Rozmiar: 1262 bajtów

Równanie to jest nietrywialne tylko wtedy, gdy indeksy μ, ν oraz σ przybierają różne wartości. Są możliwe 4 grupy takich wartości: (123), (124), (134), (234). A więc po "rozpakowaniu" tego równania otrzymujemy 4 zależności, z których trzy odpowiadają wektorowemu, trzeciemu równaniu Maxwella, a jedna – równaniu drugiemu (skalarnemu). Również warto to sobie rozpisać na kartce.

W tym samym roku, w którym Maxwell sformułował swoje równania, pisze on: "…światło to elektromagnetyczne zaburzenie rozchodzące się w polu zgodnie z prawami elektromagnetyzmu". To właśnie ze swoich równań Maxwell wywnioskował, że światło jest falą elektromagnetyczną, poruszającą się z prędkością c.

Zobaczmy, w jaki sposób można wyciągnąć ten wniosek z równań Maxwella:

W wolnej przestrzeni, gdzie nie ma ładunków i prądów (j = 0, ρ = 0), przybierają one postać:

równania Maxwella bez ładunków i prądów

Pomnóżmy czwarte równanie Maxwella obustronnie przez (1/c) δ/ δt. Otrzymujemy wtedy:

(1/c) δ (rotB)/ δt = (1/c22E/ δt2
(1/c) rot (δB)/ δt = (1/c22E/ δt2
Używając trzeciego równania i podstawiając za δB/ δt:
-rotrotE = (1/c22E/ δt2

Wiadomo, że Rozmiar: 280 bajtów, więc:

Rozmiar: 1228 bajtów

Z pierwszego równania Maxwella wiemy, że divE = 0, zatem:

Rozmiar: 1357 bajtów

Analogicznie, możemy wyprowadzić, z trzeciego równania Maxwella (używając po drodze równania czwartego i drugiego) następującą zależność:

Rozmiar: 1390 bajtów

Te dwie ostatnie tożsamości są równaniami falowymi. Ich rozwiązaniami są między innymi funkcje typu:

E = E0exp ik(r-ct)
B = B0exp ik(r-ct)

gdzie: E0, B0 – amplitudy fal, k – wektor falowy, r – wektor położenia, t – czas, c- prędkość światła.

Funkcje te przedstawiają falę w polu elektrycznym i magnetycznym, poruszającą się z prędkością światła c. Jest to po prostu fala elektromagnetyczna, którą jest nie tylko światło widzialne, ale i np.: mikrofale, fale podczerwone, rentgenowskie i radiowe. Różnią się one między sobą długością (fali), czyli różnymi wartościami wektora falowego.

W 1886 roku Heinrich Hertz wytworzył po raz pierwszy fale elektromagnetyczne, potwierdzając tym samym wnioski wynikające z równań Maxwella.

MACIEJ PANCZYKOWSKI

 Autor wortalu: Maciej Panczykowski, Copyright © 2003-2018 by Maciej Panczykowski