Nauki przyrodnicze
MENU
STRONA GŁÓWNA
Przyroda polska
Zdjęcia natury
Fizyka teoretyczna
Biologia teoretyczna
Biochemia
Biologia molekularna
Ornitologia
Rośliny Polski
Botanika
Zoologia
Internetowe ZOO
Związki czynne roślin
Pierwiastki
chemiczne
Chemia nieorg.
Chemia organiczna
Ciekawostki
biologiczne
Ciekawostki
fizyczne
Ciekawostki
chemiczne
Ciekawe książki
Ciekawe strony www
Słownik

INFO
INFO O AUTORZE
KONTAKT

Do działu: FIZYKA TEORETYCZNA →

Lagranżjan i hamiltonian

Lagranżjan L jest funkcją charakteryzującą układ mechaniczny, której wartość stanowi różnica energii kinetycznej Ek i potencjalnej V układu:

L = Ek - V

Lagranżjan jest wyrażany we współrzędnych uogólnionych i w związanych z nimi prędkościach uogólnionych. Znaczy to, że mogą być to dowolne współrzędne, które całkowicie określają położenie układu (i ich pochodne po czasie - prędkości), a nie tylko współrzędne kartezjańskie x, y i z. Trzeba tu dodać, że lagranżjan może także zależeć od czasu.

Przykładowo, lagranżjan cząstki w potencjale V wyraża się wzorem:

L = Ek - V = (1/2) mv2 - V = (1/2) m [(dx/dt)2 + (dy/dt)2 + (dz/dt)2] - V

Równania Eulera-Lagrange'a to ogólne równania, dzięki którym możemy wyznaczyć równania ruchu, pozwalające określić zmiany położenia dowolnego układu w czasie. Jeśli współrzędne uogólnione przedstawimy za pomocą symbolu qi = (q1, q2,...,qN), a odpowiadające im prędkości uogólnione następująco: dqi/dt = (dq1/dt, dq2/dt,...,dqN/dt), to możemy N równań Eulera-Lagrange'a ująć w jednym zapisie (z wykorzystaniem wprowadzonej symboliki):

równania Eulera-Lagrange'a

Odczytujemy te równania jak następuje: pochodna lagranżjanu po każdej współrzędnej uogólnionej minus pochodna po czasie pochodnej lagranżjanu po każdej odpowiadającej prędkości uogólnionej, jest równa zero.

Rozwiążemy powyższą zależność dla wspomnianej już cząstki w potencjale. Zajmiemy się tylko jedną współrzędną x i odpowiadającą jej prędkością vx:

∂L/∂x = - ∂V/∂x
∂L/∂vx = mvx → d mvx/dt = max

czyli:
max = - ∂V/∂x

Otrzymujemy znane równanie ruchu, wynikające z drugiej zasady dynamiki Newtona.

Hamiltonian H układu mechanicznego jest funkcją współrzędnych uogólnionych qi, odpowiadających im pędów uogólnionych pi i czasu. Jego wartość możemy otrzymać znając lagranżjan L, z poniższego wzoru:

H = ∑ pi(dqi/dt) - L

Przykładowo, hamiltonian cząstki w potencjale V wyraża się wzorem:

H = m(dx/dt)(dx/dt) + m(dy/dt)(dy/dt) + m(dz/dt)(dz/dt) - L
H = (1/2) m [(dx/dt)2 + (dy/dt)2 + (dz/dt)2] + V = (1/2m) (px2 + py2 + pz2) + V

Równania Hamiltona to układ 2N równań; po jednym dla każdego z N pędów uogólnionych układu i N współrzędnych uogólnionych. Można je otrzymać różniczkując powyższy ogólny wzór na hamiltonian po qi oraz pi, oraz wiedząc, że pęd uogólniony to pochodna lagranżjanu po prędkości uogólnionej i wykorzystując równanie Eulera-Lagrange'a.
Końcowy wynik ma postać równań Hamiltona:

równania Hamiltona

Równania te odczytujemy następująco: pierwsze - pochodna każdej współrzędnej uogólnionej układu po czasie jest równa pochodnej hamiltonianu układu po odpowiadającym jej pędzie, drugie - pochodna każdego pędu uogólnionego układu po czasie jest równa minus pochodnej hamiltonianu układu po odpowiadającej mu współrzędnej.
Dzięki równaniom Hamiltona wiemy ściśle jak zmieniają się w czasie współrzędne i pędy, czyli wszystko to, co charakteryzuje układ.

Rozwiążemy teraz równania Hamiltona dla cząstki w potencjale, której hamiltonian H już wyprowadziliśmy. Pokażemy rozwiązania tylko dla współrzędnej x i pędu px.

Pierwsze:
dx/dt = px/m
Drugie:
dpx/dt = - ∂V/∂x

Pierwsza zależność pokazuje trywialnie, że położenie x zmienia się z czasem jak px/m, czyli po prostu z prędkością vx. Druga zależność to znany w mechanice wzór, mówiący, że zmiany pędu w czasie są równe działającej sile.

MACIEJ PANCZYKOWSKI

 Autor wortalu: Maciej Panczykowski, Copyright © 2003-2018 by Maciej Panczykowski