Nauki przyrodnicze
MENU
STRONA GŁÓWNA
Przyroda polska
Zdjęcia natury
Fizyka teoretyczna
Biologia teoretyczna
Biochemia
Biologia molekularna
Ornitologia
Rośliny Polski
Botanika
Zoologia
Internetowe ZOO
Związki czynne roślin
Pierwiastki
chemiczne
Chemia nieorg.
Chemia organiczna
Ciekawostki
biologiczne
Ciekawostki
fizyczne
Ciekawostki
chemiczne
Ciekawe książki
Ciekawe strony www
Słownik

INFO
INFO O AUTORZE
KONTAKT

Do działu: FIZYKA TEORETYCZNA →

Kwantowa teoria pola
(podstawy)

Kwantowa teoria pola (KTP) stanowi ogólny schemat teoretyczny, który znalazł zastosowanie do opisu oddziaływań słabych, silnych i elektromagnetycznych - trzech z czterech podstawowych sił przyrody.
Teoria ta nie jest wolna od problemów (co pokażę w dalszej części tekstu) i jest bardzo wyrafinowana matematycznie (powszechnie uważa się ją za trudniejszą niż ogólna teoria względności).
Nie zmienia to jednak faktu, że warto poznać ją lub przynajmniej mieć rozeznanie. Niniejszy artykuł zawiera tylko najważniejsze, podstawowe informacje, dotyczące KTP oraz jej krytykę.
Dla pełnego i obszernego wykładu, należy przeczytać następujące książki (najlepiej w tej kolejności):
  • D. Griffiths "Introduction to elementary particles"
  • W.N. Cottingham, D.A. Greenwood "An introduction to standard model of particle physics" (z dodatkiem matematycznym na końcu)
  • A. Zee "Quantum field theory in a nutshell"
  • L. Ryder "Quantum field theory"
Istotę KTP stanowi pojęcie pola kwantowego, które nie jest rozumiane jako funkcja falowa pojedynczej cząstki, ale jako byt, którego postać matematyczną można rozłożyć za pomocą transformacji Fouriera na zestaw funkcji (o określonych, różnych liczbach falowych k), które reprezentują pojedyncze cząstki elementarne (kwanty pola) w określonych stanach (związanych z liczbą falową).
Pole stanowi operator, który może zadziałać na określony zestaw kwantów (lub zupełny ich brak - stan próżni) i zwiększać lub zmniejszać liczbę kwantów zestawu, gdyż współczynnikami rozwinięcia Fouriera pola są: operatory kreacji (zwiększające) i anihilacji (zmniejszające).
Dowolny zestaw kwantów, zajmujących określone stany energetyczno-spinowe, stanowi wektor w przestrzeni Focka. W przypadku fermionów, dany stan może być zajęty przez 0 lub 1 kwant (zakaz Pauliego), a w przypadku bozonów - przez dowolną ich liczbę.
Opisana powyżej procedura rozkładania pola na kwanty i traktowania go jak operatora, to tzw. kwantowanie kanoniczne (drugie kwantowanie).

Metoda całek po trajektoriach polega na wyznaczeniu amplitudy prawdopodobieństwa przejścia swobodnej cząstki kwantowej z jednego miejsca do drugiego, z uwzględnieniem źródeł ograniczających (J). Sumuje się wszystkie możliwe drogi i otrzymuje się całkę funkcjonału Z0[J].
Jeśli chcemy opisywać oddziaływanie cząstek, to musimy do funkcjonału dodać człon anharmoniczny, nieliniowy (np. φ4). W przeciwnym wypadku funkcjonałów z członami tylko harmonicznymi, mielibyśmy prostą sumę przejść i brak oddziaływań. Całka funkcjonału z członem nieliniowym jest oznaczana jako Z[J].
Za pomocą Z[J] możemy wyznaczyć operator S, który pozwala na obliczenie dowolnego elementu macierzy S (Sfi), który jest amplitudą prawdopodob. zajścia danego procesu oddziaływania elementarnego dla stanu kwantowego wejścia ψi i wyjścia ψf.

R. Feynman zauważył, że jeśli chcemy wyznaczać takie amplitudy, nie musimy za każdym razem wykonywać skomplikowanych obliczeń. Wystarczy, że dysponujemy zestawem określonych reguł, które pozwalają nam złożyć wyrażenie matematyczne dla diagramu (grafu) oddziaływania o dowolnym stopniu skomplikowania. Są to tzw. reguły Feynmana.
Dla każdej linii zewnętrznej (wolno zakończonej), wewnętrznej (tzw. propagator) i wierzchołka diagramu obowiązuje ścisłe wyrażenie dla cząstki o spinie 0, 1/2 i 1 (osobno dla masowej i bezmasowej).

graf KTP

Co ciekawe, propagatory dla cząstek o spinie 0 i 1/2 to odwrotności równania Kleina-Gordona i Diraca (odpowiednio) w przestrzeni pędów, pomnożone przez jednostkę urojoną (i).

Amplitudy oddziaływań mogą być też wyznaczane dzięki kwantowaniu kanonicznemu. Kiedy już nimi dysponujemy, możemy za pomocą tzw. złotych reguł Fermiego obliczać szybkości rozpadu cząstek i przekroje czynne na rozpraszanie. KTP daje tutaj zdumiewającą zgodność z danymi eksperymentalnymi.

Bardzo ważne w KTP wyrażenie matematyczne to tzw. gęstość lagranżjanu. Po jego podstawieniu do równania Eulera-Lagrange'a otrzymujemy odpowiednie równanie pola o danym spinie.
Niezmienniczość gęstości lagranżjanu względem matematycznej lokalnej symetrii cechowania, wymaga pojawienia się w tym wyrażeniu członu dodatkowego, określającego bozon cechowania.
W przypadku:
- symetrii cechowania U(1) z 1 generatorem - jest 1 bozon cechowania - foton (nośnik oddziaływań elektromagnetycznych)
- symetrii cechowania SU(2) z 3 generatorami (macierze Pauliego) - są 3 bozony ciężkie cechowania (nośniki oddziaływań słabych)
- symetrii cechowania SU(3) z 8 generatorami (macierze Gell-Manna) - jest 8 bozonów cechowania - gluony (nośniki oddziaływań silnych)

W KTP postuluje się istnienie pola Higgsa, które niektórym cząstkom elementarnym nadaje masę spoczynkową. Spontaniczne złamanie symetrii tego pola przy cechowaniu globalnym prowadzi do powstania bezmasowego bozonu Goldstone'a (ciekawostka matematyczna). Przy cechowaniu lokalnym SU(2) x U(1), bozon ten znika i pojawia się masywny bozon Higgsa i masywne bozony ciężkie W i Z.

Największy problem kwantowej teorii pola stanowi pojawianie się nieskończoności przy całkowaniu wyrażeń z diagramów z pętlą lub pętlami. Są one usuwane za pomocą wątpliwej matematycznie metody. Jest to tzw. renormalizacja.
Granicę całkowania najpierw ucina się (tzw. regularyzacja) i otrzymuje się m.in. wyrażenie, które po przejściu do granicy (→0) daje nieskończoność. Usuwa się je przez dodanie członu kasującego, który skutkuje dodatkiem do "gołej" masy lub stałej sprzężenia w wyrażeniu. Jako, że "goła" masa lub stała sprzężenia są bytami czysto teoretycznymi, to przyjmuje się, że one wraz z dodatkiem kasującym stanowią wartość zrenormalizowaną, która jest wyznaczana eksperymentalnie. Tak oto nieskończoność znika, kosztem włączenia do teorii kluczowych parametrów, wziętych z doświadczenia (mierzonych w oddziaływaniu, a nie samych w sobie).

Teoria jest renormalizowalna wtedy, gdy nieskończoności w diagramach dowolnego rzędu (dowolnie skomplikowanych) można usunąć za pomocą skończonej liczby parametrów doświadczalnych. Renormalizowalne są teorie będące szczególnym zastosowaniem KTP do: oddziaływań elektromagnetycznych (elektrodynamika kwantowa, QED), oddziaływań silnych (chromodynamika kwantowa, QCD) i unifikacji oddziaływań słabych i elektromagnetycznych (teoria elektrosłaba).

Wybitny fizyk - Paul Dirac był bardzo zaniepokojony przymusem stosowania renormalizacji. Uważał on, że to nie jest sensowna matematyka. Wyrażenie można usuwać wtedy, gdy jest zaniedbywalnie małe, a nie wtedy, gdy jest nieskończenie duże i go nie chcemy.

KRYTYKA KWANTOWEJ TEORII POLA

KTP jest daleka od doskonałości i na pewno nie jest ona ostatnim słowem fizyki teoretycznej. Jest niewykluczone, że teoria lepsza będzie zupełnie inna jakościowo. Poniżej przedstawiam listę wad kwantowej teorii pola:
  • nie potrafi ona ująć z sukcesem grawitacji - jednej z czterech sił przyrody.
  • nie przedstawia ona żadnego modelu cząstki elementarnej, z którego możnaby wyprowadzać kluczowe parametry cząstek (masa, ładunek, kolor), co ma związek z pojawiającymi się w niej nieskończonościami i koniecznością łatania jej danymi doświadczalnymi.
  • jej podwaliną są pola kwantowe, które stanowią byty matematyczne, a które nie muszą odpowiadać bytom fizycznym. Jest nadal niewykluczone, że w naturze istnieją tylko cząstki elementarne o określonej, ograniczonej przestrzennie strukturze oraz próżnia. W teorii tej za dużo jest badania właściwości matematycznych bytów matematycznych, a za mało obrazu zjawisk (przykład: lokalne cechowanie na gęstości lagranżjanu daje wynik, ale jaki ta operacja ma sens fizyczny?).
  • jej formalizm matematyczny jest obszerny i skomplikowany. Trudno uwierzyć, że podstawowe oddziaływania przyrody można ująć tylko tak nieelegancko. Niestety, powstaje wrażenie, że wielka, matematyczna góra urodziła małą, fizyczną mysz.

MACIEJ PANCZYKOWSKI

 Autor wortalu: Maciej Panczykowski, Copyright © 2003-2018 by Maciej Panczykowski