Nauki przyrodnicze
MENU
STRONA GŁÓWNA
Przyroda polska
Zdjęcia natury
Fizyka teoretyczna
Biologia teoretyczna
Biochemia
Biologia molekularna
Ornitologia
Rośliny Polski
Botanika
Zoologia
Internetowe ZOO
Związki czynne roślin
Pierwiastki
chemiczne
Chemia nieorg.
Chemia organiczna
Ciekawostki
biologiczne
Ciekawostki
fizyczne
Ciekawostki
chemiczne
Ciekawe książki
Ciekawe strony www
Słownik

INFO
INFO O AUTORZE
KONTAKT

Do działu: FIZYKA TEORETYCZNA →

Oscylator harmoniczny

Oscylator harmoniczny to układ, na który, przy wytrąceniu ze stanu równowagi, działa siła proporcjonalna do wychylenia, usiłująca tą równowagę przywrócić. Skutkiem tego jest ruch ograniczony w przestrzeni i drgający harmonicznie, czyli taki, w którym zależność odchylenia od czasu ma postać funkcji sinus lub cosinus.

Prostym przykładem mechanicznego oscylatora harmonicznego jest ciężarek o masie m zawieszony na sprężynie. Prawo Hooke’a mówi, że na ciało na odkształcanej sprężynie działa siła skierowana przeciwnie do kierunku odkształcenia i proporcjonalna do odległości od stanu równowagi (sprężyny nieodkształcanej). Możemy to zapisać:

Fp = - kx

x – odległość od punktu równowagi, Fp – siła sprężystości, k – współczynnik sprężystości

Równanie ruchu dla masy zawieszonej na sprężynie jest proste, gdy pominiemy siłę grawitacji lub umieścimy układ w stanie nieważkości.
Działa wtedy na nią jedynie „przywracająca” siła sprężystości (sprężyna stawia opór ściskaniu i rozciąganiu).
A więc, równanie ruchu masy m możemy, zgodnie z drugim prawem dynamiki Newtona, zapisać następująco:

ma = Fp

Wiemy, że przyspieszenie (a) to druga pochodna położenia po czasie; zatem otrzymujemy:

m(d2x/dt2) = -kx

Jest to proste równanie różniczkowe, którego rozwiązaniem jest taka funkcja x(t), która pokazuje jak położenie tej masy zależy od czasu.
Równanie to należy czytać następująco: jaka funkcja ma taką właściwość, że jej druga pochodna pomnożona przez m daje ją samą pomnożoną przez –k?
Okazuje się, że taką własność ma funkcja: x = A sin(ωot + φ), gdzie:

częstość własna

Teraz parę słów objaśnień użytych symboli:
  • A – amplituda przedstawiająca maksymalne wychylenie xmax. Jest tak dlatego, że maksymalną wartością funkcji sinus jest 1, czyli xmax = A razy 1 = A.
  • ωoczęstość własna drgań oscylatora – określa liczbę pełnych drgnięć w jednostce czasu. Jak widać z powyższego wzoru na ωo, spada ona ze wzrostem masy m i rośnie ze wzrostem współczynnika k, będącego miarą sprężystości sprężyny.
  • φ – faza początkowa drgań – określa stan w jakim znajdował się oscylator na początku drgań (t=0). Na przykład gdy φ = 0, to x = A sin ωot i dla t=0 wychylenie x=0, czyli oscylator rozpoczął drgania od stanu równowagi.
    Inny przykład: φ = 2π → x = A sin(ωot + 2π) = A cos ωot , zatem dla t=0 wychylenie x=A, czyli oscylator rozpoczyna drgania od stanu maksymalnego wychylenia.
Rzeczywisty oscylator harmoniczny jest tłumiony, bo np. sprężyna nie drga w nieskończoność, tylko po pewnym czasie wytraca swoją energię w postaci ciepła (wskutek tarcia). A więc, w rzeczywistości będziemy obserwować ruch oscylacyjny złożony z zanikiem wykładniczym, czyli po prostu drgania o coraz mniejszej amplitudzie. Przy bardzo silnym tłumieniu nie wystąpi ani jedno drgnięcie, ale od razu wykładniczy zanik ruchu.

Jeśli na oscylator działa dodatkowo zewnętrzna siła (również o oscylującej wartości), to mamy do czynienia z jego drganiami wymuszonymi. Mają one taką częstotliwość jak siła wymuszająca Fo cos ωt.

Oto równanie ruchu:

m(d2x/dt2) = - kx + Fo cos ωt

Amplituda oscylacji obliczana jest wtedy według wzoru:

A = Fo / [m(ωo2 – ω2)]

gdzie: ωo – własna częstotliwość drgań oscylatora, ω – częstotliwość drgań siły wymuszającej.

Widzimy, że amplituda przybiera bardzo duże wartości dla ω bardzo zbliżonego wartością do ωo (mały mianownik). Jeśli jednak ω = ωo, to mamy do czynienia z osobliwością. Równanie „wybucha”, bo mamy zero w mianowniku, co sugeruje nieskończoną amplitudę.
Oczywiście, w rzeczywistym świecie nigdy z czymś tak nierealnym nie mamy do czynienia. Jest tak dlatego, że każdy realny oscylator jest tłumiony, co objawia się tym, że nawet gdy siła wymuszająca drga zgodnie z częstością własną oscylatora (ω = ωo), to mianownik nie jest zerem, bo pojawia się tam człon związany ze współczynnikiem tarcia.
Jednak amplituda osiąga wtedy największą, aczkolwiek skończoną wartość. Zjawisko, z którym mamy wtedy do czynienia to tzw. rezonans.

MACIEJ PANCZYKOWSKI

 Autor wortalu: Maciej Panczykowski, Copyright © 2003-2018 by Maciej Panczykowski