Nauki przyrodnicze
MENU
STRONA GŁÓWNA
Przyroda polska
Zdjęcia natury
Fizyka teoretyczna
Biologia teoretyczna
Biochemia
Biologia molekularna
Ornitologia
Rośliny Polski
Botanika
Zoologia
Internetowe ZOO
Związki czynne roślin
Pierwiastki
chemiczne
Chemia nieorg.
Chemia organiczna
Ciekawostki
biologiczne
Ciekawostki
fizyczne
Ciekawostki
chemiczne
Ciekawe książki
Ciekawe strony www
Słownik

INFO
INFO O AUTORZE
KONTAKT

Do działu: FIZYKA TEORETYCZNA →

Ruch w polu grawitacyjnym

Spadek swobodny to ruch pod wpływem siły grawitacyjnej, który nie jest zaburzony przez żadne inne siły i dlatego przebiega w pionie, ze stałym przyspieszeniem (czyli jest przykładem ruchu jednostajnie przyspieszonego).
Przyspieszeniem w spadku swobodnym ciała na Ziemię jest tzw. przyspieszenie ziemskie (g) – efekt działania siły grawitacyjnej na masę. Na małych odległościach od powierzchni Ziemi przyjmujemy g za stałe (9,81 m/s2). Trzeba jednak pamiętać, że generalnie zmienia się ono w pionie wg wzoru:

g = GM/r2

gdzie: g – przyspieszenie ziemskie, G – stała grawitacyjna, M – masa Ziemi, r – odległość punktu pomiaru przyspieszenia od środka Ziemi.

Pole grawitacyjne jest zachowawcze, więc obowiązuje w nim zasada zachowania energii mechanicznej Em, która mówi, że w każdym punkcie tego pola suma energii potencjalnej Ep i kinetycznej Ek ciała jest taka sama:

Em = Ep + Ek = const

Wzór na energię potencjalną ciała w polu grawitacyjnym w pobliżu Ziemi ma postać:

Ep = mgh

gdzie: m – masa ciała, g – przyspieszenie ziemskie, h – odległość od powierzchni Ziemi.

Jeśli spuszczamy ciało z wysokości h, to ma ono tylko energię potencjalną mgh, a energię kinetyczną ma równą 0 (bo spoczywa w ręce). Tuż przy powierzchni Ziemi ciało ma tylko energię kinetyczną, a jego energia potencjalna wynosi 0 (bo h = 0).
Z zasady zachowania energii mechanicznej mamy:

Em(0) = Em(h)
Ep(0) + Ek(0) = Ep(h) + Ek(h)
½mv2 = mgh
½v2 = gh

spadek swobodny

Jest to wzór na prędkość ciała przy powierzchni Ziemi, gdy zostało ono spuszczone ze znanej wysokości h.

Możemy to rozumowanie odwrócić i obliczyć z powyższej zależności, na jaką wysokość wyleci ciało, rzucone w górę z powierzchni Ziemi z prędkością v (rzut pionowy).
Otóż, łatwo pokazać, że będzie to wysokość:

½mv2 = mgh
½v2 = gh
h = v2/2g

Zasada zachowania energii mechanicznej w rzeczywistych warunkach jest pewną idealizacją, bo w realnym świecie istnieje dyssypatywna siła oporu powietrza, która powoduje, że ciało traci dodatkowo energię w postaci ciepła. Tak więc, w rzeczywistości kamień podrzucony do góry wyleci na wysokość mniejszą niż h = v2/2g, bo część jego energii kinetycznej zostanie rozproszona w postaci ciepła.

Gdy ciało spada w pobliżu Ziemi, to realnie działają na nie 2 siły:
  • siła grawitacji skierowana w dół
  • siła oporu powietrza skierowana w górę (przeciwnie do kierunku ruchu)
Przybliżony wzór na siłę oporu powietrza to:

Fo = kv2

gdzie: k – współczynnik oporu (zależny od kształtu i wymiarów ciała oraz gęstości powietrza), v – prędkość ciała

Przy spadku w polu grawitacyjnym, ciało przyspiesza (zwiększa swą prędkość). Ale nie będzie się to działo nieograniczenie, bo wraz ze wzrostem prędkości rośnie również przeciwnie skierowana siła oporu.
Należy więc przypuszczać, że przy pewnej wartości prędkości vg siły te zrównoważą się i ciało będzie dalej spadać już stale z tą prędkością (brak wypadkowej siły = brak przyspieszenia). Jest to tzw. prędkość graniczna.

Fo = Fg
kvg2 = mg
prędkość graniczna

Widać, że vg zależy od masy ciała i współczynnika oporu.

Rzut ukośny to taki ruch, w którym ciału nadajemy prędkość początkową, która ma składową poziomą (równoległą do gruntu) i pionową. W szczególnym przypadku rzutu poziomego, prędkość początkowa ma tylko składową poziomą (ale ciało musi być wtedy umieszczone w pewnej odległości od powierzchni ziemi).
Przyjrzyjmy się bliżej rzutowi ukośnemu i spróbujmy zmodelować to zjawisko. Umieszczamy ciało w początku układu współrzędnych (x=0, y=0) w czasie t=0. Ruch ciała podczas rzutu będzie odbywał się w płaszczyźnie XY. Będzie on złożeniem ruchu ciała w poziomie (ze stałą prędkością vx - poziomą składową prędkości początkowej vo) oraz ruchu w pionie (z prędkością początkową vy i przyspieszeniem ujemnym -g, bo skierowanym w dół - przeciwnie do kierunku vy).

rzut ukośny

Kąt nachylenia kierunku rzutu względem ziemi to α. Wobec tego wartości vx i vy to odpowiednio: vocosα i vosinα. Z prostych zależności pomiędzy drogą i czasem w ruchu jednostajnym prostoliniowym i ruchu jednostajnie przyspieszonym otrzymujemy wzory na przesunięcie w wymiarach X i Y:

x = vx t = (vocosα) t
y = vy t - ½gt2 = (vosinα) t - ½gt2

Możemy teraz otrzymać wzór na czas z pierwszego równania (t = x/vocosα) i wstawić go do równania drugiego. Po prostych przekształceniach otrzymujemy wzór zależności między y a x:

y = x tanα - (g x2/2vo2cos2α)

Jest to równanie typu y = bx - ax2, czyli po prostu równanie paraboli. Tor rzutu ukośnego jest więc parabolą!
Zasięg tego rzutu sprowadza się do wyznaczenia punktu, w którym parabola przecina ponownie oś X (innego niż początkowy punkt x=0 i y=0). Współrzędna Y tego drugiego punktu to również 0, a współrzędną X znajdziemy z równania:

y = 0
x tanα - (g x2/2vo2cos2α) = 0
x [tanα - (g x/2vo2cos2α)] = 0
To wyrażenie jest równe zero gdy x = 0 lub tanα - (g x/2vo2cos2α) = 0
Rozwiązanie x = 0 oznacza punkt początkowy, więc to rozwiązanie nas nie interesuje.
Pozostaje:
tanα - (g x/2vo2cos2α) = 0
sinα/cosα = g x/2vo2cos2α
sinαcosα = g x/2vo2
x = 2sinαcosα vo2/g

Wykorzystując znany wzór: 2sinαcosα = sin2α dostajemy:

x = vo2 sin2α/g

Widać, że zasięg zależy od kąta, pod którym dokonany jest rzut. Funkcja sinus ma maksymalną wartość 1. Wartość sin2α wynosi 1 dla α = 45o. Czyli, przy ustalonej wartości prędkości początkowej vo, trzeba rzucać pod kątem 45o, aby osiągnąć największą odległość.

W rzeczywistym świecie tor ciała rzuconego ukośnie nie jest idealną parabolą. Opisuje go tzw. krzywa balistyczna. Wskutek oporu powietrza obserwujemy nieco mniejszy zasięg rzutu niż ten, który można obliczyć z ostatniego równania.

MACIEJ PANCZYKOWSKI

 Autor wortalu: Maciej Panczykowski, Copyright © 2003-2018 by Maciej Panczykowski