Nauki przyrodnicze
MENU
STRONA GŁÓWNA
Przyroda polska
Zdjęcia natury
Fizyka teoretyczna
Biologia teoretyczna
Biochemia
Biologia molekularna
Ornitologia
Rośliny Polski
Botanika
Zoologia
Internetowe ZOO
Związki czynne roślin
Pierwiastki
chemiczne
Chemia nieorg.
Chemia organiczna
Ciekawostki
biologiczne
Ciekawostki
fizyczne
Ciekawostki
chemiczne
Ciekawe książki
Ciekawe strony www
Słownik

INFO
INFO O AUTORZE
KONTAKT

Do działu: FIZYKA TEORETYCZNA →

Równanie falowe

Fala to przemieszczające się w przestrzeni zaburzenie stanu materii lub pola. Matematycznie, fala może być reprezentowana przez każdą funkcję F, która spełnia poniższe równanie falowe:

2F/∂x2 + ∂2F/∂y2 + ∂2F/∂z2 = (1/v2) ∂2F/∂t2

Równanie odczytujemy następująco: funkcja F może reprezentować falę tylko wtedy, gdy suma jej drugich pochodnych po współrzędnych przestrzennych jest równa jej drugiej pochodnej po czasie, podzielonej przez kwadrat prędkości (v) rozchodzenia się fali w ośrodku.

Przenosząc wszystkie wyrazy na lewą stronę równania:

2F/∂x2 + ∂2F/∂y2 + ∂2F/∂z2 - (1/v2) ∂2F/∂t2 = 0

oraz:

równanie falowe

Zajmiemy się teraz prostym przypadkiem jednowymiarowego równania falowego:

2F/∂x2 = (1/v2) ∂2F/∂t2

Jego rozwiązanie ma ogólną postać:

F = f(x-vt) + g(x+vt)

Funkcja f przedstawia falę biegnącą w prawo na osi X z prędkością v (jeśli fala ma zachować swój kształt, to argument (x-vt) musi być cały czas taki sam, czyli ze wzrostem czasu o Δt, x musi wzrosnąć o wartość vΔt, czyli fala przesuwa się w prawo na osi X). Analogicznie, funkcja g reprezentuje falę poruszającą się w lewo na osi X.

Każde rozwiązanie równania falowego w postaci funkcji F możemy rozłożyć na sumę najbardziej podstawowych składowych w postaci fal sinusoidalnych (harmonicznych) o różnych długościach fali (a więc także częstotliwościach drgań). Dokonuje się tego przy pomocy metody matematycznej - tzw. transformacji Fouriera. Te podstawowe składowe również spełniają równanie falowe.

Jeśli każda składowa fala sinusoidalna porusza się z taką samą prędkością v, to fala z nich złożona też będzie się z tą prędkością poruszać i będzie miała w każdym czasie taki sam kształt.
W ośrodkach materialnych często zdarza się jednak, że prędkość rozchodzenia się fal sinusoidalnych zależy od ich długości (a więc także od ich częstotliwości drgań). To zjawisko to tzw. dyspersja.
W takim przypadku, fala złożona z takich składowych będzie z czasem zmieniać swój kształt.

MACIEJ PANCZYKOWSKI

 Autor wortalu: Maciej Panczykowski, Copyright © 2003-2018 by Maciej Panczykowski