Nauki przyrodnicze
MENU
STRONA GŁÓWNA
Przyroda polska
Zdjęcia natury
Fizyka teoretyczna
Biologia teoretyczna
Biochemia
Biologia molekularna
Ornitologia
Rośliny Polski
Botanika
Zoologia
Internetowe ZOO
Związki czynne roślin
Pierwiastki
chemiczne
Chemia nieorg.
Chemia organiczna
Ciekawostki
biologiczne
Ciekawostki
fizyczne
Ciekawostki
chemiczne
Ciekawe książki
Ciekawe strony www
Słownik

INFO
INFO O AUTORZE
KONTAKT

Do działu: FIZYKA TEORETYCZNA →

Energia i pęd

W fizyce klasycznej – fizyce małych prędkości w porównaniu z prędkością światła i dużych mas w porównaniu z masą cząstki elementarnej, ciało swobodne (nieograniczone przestrzennie i znajdujące się poza działaniem jakiegokolwiek pola) ma tylko energię kinetyczną, której wzór jest powszechnie znany:

Ek = ½ m v2

gdzie: m – masa ciała, v – wartość jego prędkości. Wzór dotyczy ruchu postępowego, bo dla ruchu obrotowego ma postać:

Ek = ½ Iω2

gdzie: I – moment bezwładności ciała, ω– wartość jego prędkości kątowej.

Energia jest skalarem, czyli do jej pełnego wyznaczenia potrzebna jest jedna liczba. Co prawda we wzorach powyższych występuje prędkość, która jest wektorem, ale podniesiona do kwadratu daje ona skalar. Pęd (p) jest wektorem wyznaczanym ze wzoru:

p = mv

Ma on taki sam kierunek i zwrot, co wektor prędkości danego ciała, ale jego wartość obliczamy mnożąc wartość prędkości przez liczbę – wartość masy danego ciała.

Widać, że wzór na energię kinetyczną możemy też przedstawić w postaci:

Ek = p2/2m (= ½ m2 v2 /m)

W mechanice kwantowej nierelatywistyczna (poruszająca się z małą prędkością w porównaniu z c) cząstka swobodna o określonym pędzie p = ħk i określonej energii E =Ek= ħω, opisywana jest funkcją falową: exp i(kx-ωt), spełniającą równanie Schrödingera zależne od czasu (dla uproszczenia w jednym wymiarze):

- ħ2/2m (∂2Ψ/ ∂x2) = i ħ ∂Ψ/ ∂t

Jest tak dlatego, że druga pochodna po współrzędnej tej funkcji falowej wynosi:
– k2 exp i(kx-ωt), a to pomnożone przez - ħ2/2m daje ħ2k2/2m exp i(kx-ωt). Po drugiej stronie, pierwsza pochodna po czasie wynosi: -iω exp i(kx-ωt), a to pomnożone przez i ħ daje ħω exp i(kx-ωt) Jako, że exp i(kx-ωt) to nasza funkcja (Ψ), przez którą możemy podzielić obustronnie równanie, to ħ2k2/2m = ħω. Czyli E = p2/2m, bo ħk to pęd, a ħω to energia i wszystko się zgadza.

A co w przypadku cząstki relatywistycznej ?

Relatywistyczny (ogólniejszy od poprzedniego: Ek = ½m0v2) wzór na energię cząstki swobodnej ma postać:

E2 = p2c2 + m02c4

W szczególnej teorii względności relatywistyczny wzór na pęd ma postać:
p = m0v/(1-v2/c2)1/2. Podstawmy tę zależność do powyższego wzoru relatywistycznego na energię:

E2 = m02 v2 c2/(1- v2/c2) + m02c4

Przekształcając dalej:

E2 = m02 v2 c4/(c2- v2) + m02c4
E2 = m02 c4 [v2/(c2-v2) + 1]
E2 = m02 c4 [v2+c2-v2/(c2-v2)]
E2 = m02 c4 /(1-v2/c2)

Teraz otrzymujemy nasz nowy wzór na energię: E = m0c2 /(1-v2/c2)1/2

Gdy rozwiniemy nasz wzór w szereg Taylora, to otrzymamy:
m0c2 (1 + ½ v2/c2 + 3/8 v4/c4 +....). Wiemy jednak, że cząstka ma energię związaną z tym, że w ogóle istnieje. Jest to tzw. energia masy i wyraża się ona słynnym wzorem:

Em = m0c2.

Jeśli więc od naszego wzoru na energię całkowitą cząstki swobodnej odejmiemy energię masy, to otrzymamy wzór na relatywistyczną energię kinetyczną:

Ek-rel = ½m0v2 + 3/8 m0v4/c2 +....

Widzimy, że wzór ten jest różny od klasycznego Ek = ½m0v2, ale wykazuje pewne podobieństwo. Pierwszy człon rozwinięcia jest z nim identyczny. Po prostu w obszarze klasycznym (małe prędkości w porównaniu z c) dalsze człony można pominąć i wtedy otrzymujemy właśnie wzór klasyczny.

Ciekawe jest zadać sobie pytanie czy w mechanice kwantowej (relatywistycznej) istnieje równanie relatywistyczne, w które wpisana jest znana nam już zależność: E2 = p2c2 + m02c4, tak jak w równanie Schrödingera zależne od czasu wpisana jest klasyczna zależność p2/2m? Otóż takie równanie istnieje. Jest to równanie Kleina-Gordona i ma ono postać (dla jednego wymiaru):

(1/c2)(∂2Ψ/ ∂t2) - ∂2Ψ/ ∂x2 = - (m0c/ ħ)2 Ψ

Równanie to spełnia np. funkcja falowa opisująca cząstkę o określonym pędzie (p = ħk) i energii (E = ħω) postaci: exp i(kx-ωt). Sprawdźmy to na jej przykładzie. Z pierwszego członu po lewej mamy: (-ω2/c2) exp i(kx-ωt), a z drugiego: -k2 exp i(kx-ωt). Jeśli teraz równanie pomnożymy obustronnie przez ħ2c2 i podzielimy przez naszą funkcję exp i(kx-ωt), to otrzymamy: -ħ2ω2 + ħ2k2c2 = -m02c4. Czyli po przeniesieniu odpowiednich części równania na jego przeciwną stronę otrzymujemy: ħ2ω2 = ħ2k2c2 + m02c4. Jest to po prostu nasz związek relatywistyczny pomiędzy energią a pędem (E2 = p2c2 + m02c4), a więc wszystko się zgadza. Należy jeszcze dodać, że równanie Kleina-Gordona nie bierze pod uwagę spinu, więc obowiązuje jedynie dla cząstek o spinie zerowym.

MACIEJ PANCZYKOWSKI

 Autor wortalu: Maciej Panczykowski, Copyright © 2003-2018 by Maciej Panczykowski