Nauki przyrodnicze
MENU
STRONA GŁÓWNA
Przyroda polska
Zdjęcia natury
Fizyka teoretyczna
Biologia teoretyczna
Biochemia
Biologia molekularna
Ornitologia
Rośliny Polski
Botanika
Zoologia
Internetowe ZOO
Związki czynne roślin
Pierwiastki
chemiczne
Chemia nieorg.
Chemia organiczna
Ciekawostki
biologiczne
Ciekawostki
fizyczne
Ciekawostki
chemiczne
Ciekawe książki
Ciekawe strony www
Słownik

INFO
INFO O AUTORZE
KONTAKT

Do działu: FIZYKA TEORETYCZNA →

Droga i czas

Ciało, które w przedziale czasu Δt pokonało dystans Δx, poruszało się z prędkością średnią vśr, którą obliczamy ze wzoru:

vśr = Δx / Δt

Jej wartość nie mówi nam jednak nic szczegółowego o samym przebiegu tego ruchu. Może być np. tak, że samochód cały czas miał na liczniku prędkość vśr, ale może być też tak, że przez połowę czasu stał na parkingu, a przez drugą połowę poruszał się 2 razy szybciej. I też udało mu się pokonać odcinek Δx w czasie Δt.
Przebytą drogę Δx obliczamy ze wzoru:

Δx = vśr Δt

Wzór ten nie jest jednak zbyt przydatny, bo częściej znamy przebytą drogę i odstęp czasu niż prędkość średnią i odstęp czasu. Ma on zwykle zastosowanie wtedy, gdy wiemy, że przez cały czas Δt ruch odbywał się ze stałą, znaną prędkością v (Δx = v Δt).
Taki ruch zdarza się jednak rzadko. Zazwyczaj prędkość w ruchu ulega zmianom. Aby ją w danej chwili poznać, potrzebujemy przedziałów przestrzennych i czasowych tak małych, by można było przyjąć, że w ich obrębie prędkość pozostaje stała.
Oto jak obliczamy tzw. prędkość chwilową vch:

vch(t) = d x(t)/dt

gdzie: d x(t) – nieskończenie mały przedział drogi, dt - nieskończenie mały przedział czasu.

Mówimy, że prędkość chwilowa jest pochodną przemieszczenia po czasie (przemieszczenie jest funkcją czasu, więc mamy klasyczny przykład pochodnej funkcji po jej argumencie).

Chcąc teraz obliczyć przebytą drogę, musimy wykonać odpowiednie całkowanie:

d x(t) = vch(t) dt
∫ d x(t) = ∫ vch(t) dt


Δx = ∫ vch(t) dt

Nie ma potrzeby bać się tego wzoru. Półprofesjonalnie i na potrzeby wykładu, możemy traktować całkę jako po prostu sumę, w której dodane są prędkości chwilowe pomnożone przez odpowiadające im nieskończenie małe przedziały czasu, by otrzymać całkowite przesunięcie:

Δx = vch(1) dt1 + vch(2) dt2 + vch(3) dt3 + ....

Gdyby prędkość chwilowa była cały czas taka sama (stała), moglibyśmy wyłączyć ją przed nawias, a zawarte w nim przedziały dt dodałyby się do całkowitego przedziału Δt, w którym odbywał się ruch:

Δx = vch dt1 + vch dt2 + vch dt3 + .... = vch (dt1 + dt2 + dt3 +...)

Otrzymalibyśmy wtedy znany już wzór: Δx = vch Δt

Na koniec tego artykułu, przećwiczmy zdobytą wiedzę na znanym przykładzie dwóch pociągów, które ruszają sobie naprzeciw z miast A i B (w tej samej chwili).
Obydwa miasta dzieli dystans D. Pociąg z miasta A rusza z prędkością vA, a ten z miasta B – z prędkością vB. W którym miejscu pociągi się spotkają?

Od chwili wyruszenia do chwili spotkania mija ten sam przedział czasu Δt dla obydwu pociągów. Jeśli pociąg A przebył w tym czasie dystans ΔxA = x, to pociąg B musiał przebyć odcinek dopełniający: ΔxB = D – x.

droga i czas

ΔtA = ΔtB
ΔxA/vA = ΔxB/vB
x/vA = (D-x)/vB

vB x = vA (D-x)
vB x + vA x = D vA


x = D vA/ (vB + vA)

Pociągi spotkają się w takiej odległości x od miasta A, która stanowi ułamek
vA/ (vB + vA) całkowitego dystansu D, dzielącego obydwa miasta. Widać, że gdy vB = vA, to x = D/2, czyli pociągi miną się w połowie drogi.

MACIEJ PANCZYKOWSKI

 Autor wortalu: Maciej Panczykowski, Copyright © 2003-2018 by Maciej Panczykowski