Nauki przyrodnicze
MENU
STRONA GŁÓWNA
Przyroda polska
Zdjęcia natury
Fizyka teoretyczna
Biologia teoretyczna
Biochemia
Biologia molekularna
Ornitologia
Rośliny Polski
Botanika
Zoologia
Internetowe ZOO
Związki czynne roślin
Pierwiastki
chemiczne
Chemia nieorg.
Chemia organiczna
Ciekawostki
biologiczne
Ciekawostki
fizyczne
Ciekawostki
chemiczne
Ciekawe książki
Ciekawe strony www
Słownik

INFO
INFO O AUTORZE
KONTAKT

Do działu: FIZYKA TEORETYCZNA →

Równanie Diraca

Równanie Diraca jest fundamentalnym równaniem relatywistycznej mechaniki kwantowej, obowiązującym dla cząstek o spinie 1/2. Zostało ono sformułowane w 1928 roku przez angielskiego fizyka - Paula Adriena Diraca.
Droga do jego odkrycia nie była jednak prosta i jasna. Ale po kolei...
Sytuacja w 1928 roku w fizyce kwantowej była następująca: znane było już nierelatywistyczne równanie mechaniki kwantowej - równanie Schrödingera (1926) i jego relatywistyczny odpowiednik - równanie Kleina-Gordona (1926), odkryte zresztą również przez Erwina Schrödingera.
Przypomnijmy sobie te równania (dla jednego wymiaru):

Równanie SCHRÖDINGERA

iħ(∂Ψ/ ∂t) = (-ħ2/2m)∂2Ψ/ ∂x2

Równanie KLEINA-GORDONA

(1/c2)(∂2Ψ/ ∂t2) = ∂2Ψ/ ∂x2 - (mc/ħ)2 Ψ

gdzie: ψ to funkcja falowa cząstki, zależna od współrzędnych przestrzennych i czasu, i – jednostka urojona równa pierwiastkowi z (-1), ħ – stała Plancka podzielona przez 2π, c - prędkość światła, m - masa spoczynkowa cząstki.

Dirac nie był zadowolony z rozwiązań relatywistycznego równania Kleina-Gordona. Okazało się, że nie można z nich osiągnąć dodatnich gęstości prawdopodobieństwa. Szybko stało się dla niego jasne, że przyczyną tego problemu jest występująca w równaniu Kleina-Gordona druga pochodna funkcji falowej po czasie.
Zatem rozpoczął on prace nad znalezieniem równania relatywistycznego, ale, wzorem nierelatywistycznego równania Schrödingera, zawierającego tylko pierwszą pochodną po czasie. Założył też istnienie pierwszej pochodnej po współrzędnych przestrzennych. Taka była jego intuicja fizyczna.

Przedstawimy teraz krok po kroku wyprowadzenie równania Diraca. Za punkt wyjścia posłuży nam równanie Kleina-Gordona pomnożone obustronnie przez -ħ2c2:

(-ħ2)(∂2Ψ/ ∂t2) = (-ħ2c2)∂2Ψ/ ∂x2 + m2c4 Ψ

Zapiszemy teraz nasz wynik w wygodniejszej formie, by wygodnie przekształcać dalej:

(-ħ2)(∂2/ ∂t2)Ψ = [(-ħ2c2)(∂2/ ∂x2) + m2c4] Ψ

Chcemy mieć pierwsze pochodne po czasie i przestrzeni. Wiemy, że operator stojący przed funkcją po lewej jest kwadratem wyrażenia iħ(∂/∂t).
Przyjmijmy to wyrażenie jako wyraz po lewej stronie nowego równania. Jest on identyczny z tym po lewej stronie równania Schrödingera. Nowy wyraz po prawej musi po podniesieniu do kwadratu dać operator po prawej stronie równania Kleina-Gordona. A zatem musi on mieć postać (dla trzech wymiarów):

iħcαi(∂/∂xi) + α4mc2

Okazało się, że współczynniki "alfa" nie mogą być liczbami, jeśli chcemy, aby powyższy wyraz po podniesieniu do kwadratu przechodził w prawą stronę równania Kleina-Gordona.
Diracowi przyszło na myśl, że będą to macierze: α4 oraz αi = α1, α2, α3. Z zależności po podniesieniu do kwadratu można je wyznaczyć. Oto one:

równanie Diraca

Teraz możemy przystąpić do końcowych obliczeń:

iħ(∂/∂t)Ψ = [iħcαi(∂/∂xi) + α4mc2

Wiemy z zależności pomiędzy macierzami, że α42 = 1. Mnożąc obustronnie równanie przez α4 otrzymujemy:

iħα4(∂/∂t)Ψ = [iħcα4αi(∂/∂xi) + mc2

Teraz zauważmy, że w szczególnej teorii względności mamy czterowymiarową przestrzeń, a w niej czterowektory.
Czterowektor położenia xμ = (x1, x2, x3, x4) ma składowe: (x, y, z, ct). Więc podstawmy za t wyraz ct = x4 i podzielmy równanie obustronnie przez c:

iħα4(∂/∂x4)Ψ = [iħα4αi(∂/∂xi) + mc]Ψ

Utwórzmy teraz nowe obiekty matematyczne. Będą to tzw. macierze gamma γμ:

γi = α4αi
γ4 = α4

Nasz zapis równania teraz wyglądać będzie następująco:

iħγ4(∂/∂x4)Ψ - iħγi(∂/∂xi)Ψ - mcΨ = 0

Wiedząc, że γμ = (γ4, γi) oraz ∂/∂xμ = (∂/∂x4, -∂/∂xi) otrzymujemy ostateczny wynik:

iħγμ(∂/∂xμ)Ψ - mcΨ = 0

Jest to właśnie równanie Diraca.
Jako, że macierze gamma są typu 4 x 4, to Ψ ma postać kolumny czterowyrazowej. Nazywamy ją bispinorem Diraca. Przedstawia ona 4 możliwe typy rozwiązań: 2 dla energii dodatniej i 2 dla energii ujemnej.
Wiadomo, że cząstki o spinie 1/2 (których dotyczy równanie Diraca) mają tylko 2 możliwe wartości ustawień spinu (np. "do góry" i "w dół"). A więc 2 rozwiązania dla energii dodatniej dotyczą 2 możliwości: elektron ze spinem do góry i na dół. Podobnie w przypadku energii ujemnej.
Dirac zastanawiał się co przedstawiają rozwiązania z ujemną energią. Gdyby dotyczyły one elektronów, to wszystkie elektrony Wszechświata powinny mieć ujemne energie, bo energia niższa jest tą, do której układy dążą. Ale obserwujemy tylko elektrony o energiach dodatnich. Zatem Dirac zmuszony był założyć, że wszystkie stany o ujemnej energii są już zapełnione przez nieobserwowalne elektrony. Jest to tzw. koncepcja morza Diraca.
Wybicie elektronu z morza na poziom dodatni robi w nim dziurę o dodatniej energii (brak elektronu o energii minus to minus z minusem czyli plus) i dodatnim ładunku (brak ujemnego elektronu). A więc jest to antycząstka elektronu (pozyton). Mamy wtedy do czynienia z kreacją pary: elektron + pozyton.
Kiedy elektron z poziomu energii dodatniej spada do dziury, to niknie i on i dziura. Mamy wtedy anihilację.
Jak widzimy, równanie Diraca przewiduje w sposób naturalny nie tylko istnienie spinu, ale również antymaterii.
Koncepcja morza niewidzialnych elektronów ma dziś znaczenie historyczne, gdyż została ona zastąpiona przez lepsze koncepcje Feynmana. Ale równanie Diraca obowiązuje do dziś. Słuszne pozostaje również równanie Kleina-Gordona, ale tylko i wyłącznie dla cząstek o spinie 0. Cząstki o spinie 1 opisuje tzw. równanie Proca.

MACIEJ PANCZYKOWSKI

 Autor wortalu: Maciej Panczykowski, Copyright © 2003-2018 by Maciej Panczykowski