Nauki przyrodnicze
MENU
STRONA GŁÓWNA
Przyroda polska
Zdjęcia natury
Fizyka teoretyczna
Biologia teoretyczna
Biochemia
Biologia molekularna
Ornitologia
Rośliny Polski
Botanika
Zoologia
Internetowe ZOO
Związki czynne roślin
Pierwiastki
chemiczne
Chemia nieorg.
Chemia organiczna
Ciekawostki
biologiczne
Ciekawostki
fizyczne
Ciekawostki
chemiczne
Ciekawe książki
Ciekawe strony www
Słownik

INFO
INFO O AUTORZE
KONTAKT

Do działu: BIOLOGIA TEORETYCZNA →

Prawo Hardy'ego - Weinberga
czyli ściśle i ogólnie o ewolucji



W każdej nauce tyle jest prawdy, ile w niej jest matematyki.
Immanuel Kant

WSTĘP

Zacznijmy ten artykuł w sposób trochę przewrotny i przyglądnijmy się jednej ze sfer ludzkiej działalności, zwanej sztuką. Powszechnie stawia się ją na biegunie przeciwnym temu, na którym znajduje się matematyka. Zapewne wynika to z faktu, że artyści na dźwięk słowa matematyka dostają drgawek, natomiast matematycy i fizycy, dla dobra potencjalnych odbiorców, starają się nie śpiewać, nie malować, a rysunki, które czasem wykonują mają raczej charakter techniczny. Mamy więc do czynienia z dwoma odrębnymi światami, w którym żyją grupy dwóch odmiennych typów ludzi. Możemy jednak znaleźć rzadkie punkty styczne między nimi w postaci pojedynczych osób. Przykładem takiego człowieka jest np. wybitny chemik: Manfred Eigen, który oprócz znakomitej znajomości chemii i matematyki, potrafi podejść naukowo do muzyki, a także świetnie grać na pianinie. Człowiekiem tego pokroju był również wybitny fizyk i wykładowca amerykański - Richard Feynman.
Światy te nie są więc całkowicie różne, choć różnice między nimi są głębokie. Na czym one zasadniczo polegają ?
Z pewnością Czytelnik był kiedyś na wystawie sztuki współczesnej, spotykając lub potykając się tam o przedmioty z metalu, drewna, gliny, worków cementu, itp.
Miały one coś sobą przedstawiać, coś wyrażać, symbolizować. Każdy zwiedzający odbiera wytwory artystów na swój osobisty sposób. Padają wtedy zdania typu: „Mnie przypomina to ...”, „Mnie kojarzy się to z ...”, „A to jest jak...”.
Zupełnie jak w zabawie w wychwytywanie kształtów podczas obserwacji chmur.
Nasuwa się więc refleksja, że sztuka jest wielointerpretowalna ze względu na niejednoznaczność symboliki obiektów używanych przez nią, a także relacji między nimi. Czy to wada, czy zaleta ? Z pewnością cecha charakterystyczna.
Wśród osób odwiedzających wystawy są również takie, które pytają artystów: „Co to dzieło przedstawia ?”, „Co twórca miał na myśli ?” mając nadzieję na konkretne i obiektywne poznanie przesłania każdego dzieła. Słysząc takie pytania artyści odpowiadają często: „To co odbiorca widzi”. Odpowiedź ta wskazuje na bardzo subiektywny charakter twórczości artystycznej i jej odbioru. Subiektywność nie każdemu jednak odpowiada i nie każdemu wystarcza.
Do dzisiaj pamiętam panie nauczycielki próbujące pokazać nam - młodym uczniom świat sztuki i przekonać nas, że jest ona sposobem poznania i wyrażania świata.
Należałem ku swojemu utrapieniu do opisanej powyżej grupy osób, zadających naiwne pytania i nieco zagubionych w kręgu sztuki niejednoznacznej samej w sobie. Powodowało to pewien bunt. Przekaz był niejasny. Nie wiedziałem czy dobrze go odczytuję nie wiedząc wtedy jeszcze, że pojęcie odbioru lepszego czy gorszego nie miało tam sensu. Powstawały wtedy u mnie podejrzenia, że sztuka jest pewnym sposobem pójścia na łatwiznę, że można zdobywać sławę tworząc rzeczy, które tak naprawdę mogły powstawać bez większego wysiłku, np. przez przypadkowe zmieszanie farb na papierze lub połączenie starego garnka z krzesłem i - powiedzmy - miotłą. Krytycy mogą znajdywać tu głębię, której mogło nie być w zamyśle artysty.
Granica pomiędzy geniuszem, a nowymi szatami cesarza, wydawała mi się więc tutaj wyjątkowo płynna i nieokreślona. Zadawałem sobie nawet pytania „Czy to sztuka uprawiać sztukę ?” Z biegiem czasu okazywało się jednak, że odpowiedź na to pytanie jest twierdząca. Zacząłem zauważać ogromną siłę sztuki w pozytywnym oddziaływaniu na rzeczywistość, a konkretnie mówiąc - na ludzi. Zdałem sobie sprawę, że sztuka ma swoje oblicza, a kłopoty moje wynikały głównie z tego, że obcowałem z jej formą współczesną posiadającą specyfikę, którą nie każdy musi wielbić.
Rzućmy teraz okiem na przykład na posąg Wenus z Milo. Jak wielkiego talentu trzeba było, aby z kawałka kamienia uzyskać kształt do złudzenia przypominający kobietę (zakładamy oczywiście, że Wenus z Milo jest kompletna).
Jest więc jasne, że niektóre dzieła sztuki można podziwiać niekoniecznie ze względu na głębię ich przekazu, jeśli takową posiadają, lecz ze względu na to, że nie każdy potrafi je stworzyć.

SYMBOLIKA ŚCISŁA

Co jednak począć z wyżej opisaną grupą osób dociekliwych, zawsze próbujących znaleźć ściśle określone relacje między symbolami i szukających jednoznaczności ich symboliki ? Tacy ludzie mają predyspozycje do tego, aby zostać naukowcami czyli wejść w krainę, w której niepodzielnie panuje matematyka.
Równania matematyczne są właśnie takimi ściśle określonymi relacjami między symbolami. Weźmy na przykład zależość: V = ΔS x Δt. Wzór mówi, że wartość V otrzymamy zawsze znając wartości ΔS i Δt i mnożąc je przez siebie. Matematyka jest jednak dziedziną oderwaną od rzeczywistości. Mimo faktu, że operacje możemy ściśle określać, to operujemy na pustych symbolach. Możemy jednak wykorzystywać matematykę do opisu rzeczywistości, jeśli przypiszemy symbolom w równaniach wielkości, za pomocą których poznajemy świat realny. Mierząc te wielkości i podstawiając ich wartości do wzoru, możemy obliczać wartość jednej znając wartość pozostałych. Załóżmy, że V to prędkość średnia, ΔS - przyrost drogi, Δt - czas w którym ta droga została przebyta. Z fizyki wiemy, że wzór V = ΔS x Δt nie nadaje się dobrze do opisu zależności między wielkościami symbolizowanymi przez V, ΔS, Δt. Prawidłowy jest ścisły wzór: V = ΔS /Δ t.
Matematyka daje nam więc pewne możliwości opisu świata realnego, dostarcza nam wygodnego narzędzia w postaci ściśle zdeterminowanych operacji na pustych symbolach, ale wyboru ściśle określonego wzoru, właściwego do opisu jakiegoś zjawiska lub grupy zjawisk, musimy dokonać my sami. Chodzi o to, aby relacje między symbolami we wzorze jak najlepiej odzwierciedlały zależności między wielkościami, za pomocą których opisujemy świat realny. Mówimy wtedy o homeomorfizmie wzoru i zjawiska przezeń opisywanego.
John Maynard Smith - autor książki „Evolutionary Genetics” - kompendium wiedzy z zakresu biologii teoretycznej, powiada w niej, że jego wieloletnie doświadczenie na polu matematyki i biologii nauczyło go, że nie sama matematyka czy biologia sprawia największe kłopoty, lecz to, jak dopasować je do siebie. Krótko mówiąc, mamy do czynienia z problemem jak odzwierciedlić konkretne zjawisko za pomocą konkretnego wzoru. Z powyższych rozważań można więc wyciągnąć zasadniczy wniosek: przy opisie zjawisk w świecie rzeczywistym za pomocą równania matematycznego, relacje między symbolami w nim, muszą być ściśle określone. To wzbudza w naukach posługujących się matematyką ogromny szacunek. Tutaj każda relacja między symbolami, która źle oddaje rzeczywistość po prostu odpada. Trzeba więc szukać tej prawidłowej, a to wiąże się z pewnym wysiłkiem. O pójściu na łatwiznę nie może więc być tutaj mowy.
Ponadto, opisywanie świata jest procesem dynamicznym, ewoluującym. Coraz większą dokładność opisu otrzymuje się stopniowo, z czasem. Na przykład, z drugiej zasady dynamiki Newtona wiemy, że ciała o jakiejkolwiek masie spuszczone na ziemię z tej samej wysokości, spadną na nią w tym samym momencie. Jeśli jednak tymi ciałami będą kamień i ptasie pióro, to okaże się, że prawo to nie oddaje dobrze rzeczywistości. W przypadku ciał tak lekkich jak pióro abstrakcyjny wzór:

g = GMm/mr2 = GM/r2
(z którego wynika jednakowe przyspieszenie dla ciał o dowolnej masie)

zawodzi, gdyż nie bierze pod uwagę, czyli właśnie abstrahuje się od oporu powietrza. Wykryliśmy więc jego niedoskonałość. Aby wzór mógł jeszcze lepiej tę rzeczywistość opisywać, to znaczy obowiązywać dla szerszej klasy zjawisk, trzeba wnieść poprawki na opór. Wtedy będzie można go stosować w zjawiskach, w których opór powietrza gra już znaczącą rolę.

Świat organizmów żywych, zjawisk w nich zachodzących i relacji między nimi, jest bardzo skomplikowany i różnorodny. Próby jego matematycznego opisu zostały jednak podjęte i sporo z nich zakończyło się sukcesem. Musimy sobie jednak uświadomić, że wzory otrzymane dotąd są bardzo wyabstrahowane, uproszczone czyli pomijają wiele czynników tak jak wzór g = GMm/mr2 pomija opór powietrza. Przekonamy się w tym rozdziale, że uchwyciły one w sposób zgrubny relacje pomiędzy najważniejszymi wielkościami opisującymi ewolucję. Nie należy się jednak łudzić, że są to wzory całkowicie homeomorficzne ze światem realnych zjawisk ewolucyjnych. Uproszczenia są jednak bardzo potrzebne. W przeciwnym bowiem razie, trudno byłoby skonstruować jakikolwiek wzór. Newton nie wziął pod uwagę oporu powietrza wyznaczając słynny wzór na zależność między siłą, masą i przyspieszeniem: g = F/m.
Cena, jaką zapłacił za to uproszczenie polegała na tym, że wzór ten nie zawsze dał się zastosować do opisu upadku ciała na ziemię właśnie dlatego, że nie w każdym przypadku opór powietrza można zaniedbać. Jest jednak lepiej i łatwiej najpierw uchwycić abstrakcyjne „pierwsze przybliżenie”, które jest rdzeniem wspólnym dla szerokiej klasy zjawisk, a potem, z czasem przybliżać się do rzeczywistości przez poprawki, które mają większe lub mniejsze znaczenie już w zależności od konkretnego zjawiska, np. upadek kamienia → rdzeń g = F/m i brak poprawek na opór powietrza, upadek pióra → rdzeń g = F/m i poprawki na opór powietrza, mające istotne znaczenie.

PRAWO HARDY'EGO I WEINBERGA

Zapoznajmy się teraz bliżej ze ścisłym i zmatematyzowanym sposobem przedstawiania zjawisk ewolucyjnych. Na początku poznamy bardzo podstawowe prawo, zwane prawem Hardy'ego i Weinberga. Jest ono dość przewrotne, gdyż w żaden sposób nie opisuje rzeczywistości. Procesy rzeczywiste objawiają się bowiem przez złamanie tego prawa. Mamy więc do czynienia z pewnym ewenementem. Dwóm naukowcom (nawiasem mówiąc niezależnie) udało się skonstruować równanie, które, przy danych kryteriach, mówi o tym, że ewolucja poprzez zmiany nie będzie zachodziła. A jako, że ona często zachodzi, to często przynajmniej jedno z kryteriów nie jest spełnione.
Równanie Hardy'ego i Weinberga to podwalina teoretycznego podejścia do rzeczywistych zjawisk ewolucyjnych, będąca podstawowym równaniem tak zwanej genetyki populacyjnej, czyli dziedziny zajmującej się zmianami częstości występowania poszczególnych alleli i genotypów w populacjach organizmów żywych.
Zanim jednak przedstawimy prawo Hardy'ego i Weinberga musimy zaznajomić się ze wspomnianymi powyżej pojęciami, którymi operuje genetyka populacyjna.
Populacja jest zbiorem osobników danego gatunku, które występują na jakimś terenie na tyle blisko siebie, aby mogły spotykać się i krzyżować ze sobą. Gatunek tworzą więc wszystkie jego populacje. Każda z nich ma swoją pulę genetyczną, czyli zbiór wszystkich alleli genów, obecnych u wszystkich osobników populacji.
Z lektury poprzednich rozdziałów Czytelnik mógł wynieść przyzwyczajenie, że każdy gen ma 2 allele. Rzeczywiście, jeśli bierzemy pod uwagę pojedynczego osobnika gatunku diploidalnego (a tylko takimi będziemy się tutaj zajmować), to może on nieść albo dwa identyczne albo dwa różne allele jednego genu. W całej puli genetycznej może jednak wystąpić tych alleli dowolna liczba. Wyobraźmy sobie np. gen A, który ma 5 alleli (A1 , A2 , A3 , A 4 , A5 ). W populacji będziemy obserwować zatem różne zestawy alleli u osobników, czyli genotypy. Będą to na przykład zestawy: A1A2, A3A4, A1A5, A4A4.
Każdy rodzaj genotypu będzie jakimś zestawem 2 alleli wybranych spośród pięciu.

Prawa kombinatoryki mówią, że ogólnie rodzajów genotypów będzie:

n! / [2(n-2)!] + n
gdzie n to liczba rodzajów alleli w puli genetycznej

Pierwsza część wzoru pozwala obliczyć liczbę rodzajów heterozygot. Jest to wzór na kombinację. W tym konkretnym przypadku chodzi nam o liczbę możliwych kombinacji 2 różnych elementów wziętych ze zbioru n-elementowego. Druga część wzoru pozwala nam obliczyć liczbę rodzajów homozygot. Ich liczba będzie równa liczbie rodzajów alleli, czyli n.
Teraz, kiedy zdobyliśmy już podstawy, możemy śmiało wkroczyć w krainę genetyki populacyjnej.

Przedstawimy je tutaj w sposób bardzo abstrakcyjny, co jak już wiemy, oznacza że będzie ono oddawało rzeczywistość w sposób bardzo uproszczony i niepełny. Będziemy zajmować się jednym genem u osobników pewnej populacji i założymy, że w jej puli istnieją tylko 2 jego allele: A1, A2.
Zgodnie z powyższym wzorem będziemy mieli 2! / (2! 0!) + 2 = 3 rodzaje genotypów:

A1A1  A1A2  A2A2

Bardzo istotna będzie teraz dla nas znajomość częstości występowania poszczególnych trzech genotypów w populacji. Załóżmy że liczy ona N osobników, a liczebność osobników z poszczególnymi genotypami wynosi:

A1A1 -- N11
A1A2 -- N12
A2A2 -- N22

Oczywiście: N11 + N12 + N22 = N

Częstości genotypów będziemy więc obliczać według wzorów:

P11 = N11 / N
P12 = N12 / N
P22 = N22 / N

Znając frekwencje genotypowe w populacji, będziemy mogli obliczyć częstości alleli w jej puli genetycznej. Liczba wszystkich alleli u N osobników ze względu na ich diploidalność wynosi 2N. Homozygoty wnoszą 2 razy więcej alleli jakiegoś rodzaju niż heterozygoty. Oznaczmy frekwencję allelu A1 jako p, allelu A2 jako q.

p = (2N11 + N12) / 2N = P11 + P12/2    (P - częstość danego genotypu)
q = (2N22 + N12) / 2N = P22 + P12/2

Z tych obliczeń wypływa oczywisty wniosek, że p + q = 1, gdyż ze względu na fakt, że mamy do czynienia tylko z dwoma allelami, ich „udziały” w puli genetycznej muszą dodawać się do jedynki.
Zrobimy teraz ważne założenie, że osobniki w populacji krzyżują się bez żadnej preferencji. Wtedy prawdopodobieństwo powstania danej kombinacji alleli będzie równa iloczynowi ich frekwencji w całej puli genetycznej. Tak więc:

P11‘ = p2
P12‘ = 2pq (musimy uwzględnić przypadki zapłodnienia komórki jajowej p przez plemnik q i odwrotnie, stąd czynnik 2 w równaniu).
P22‘ = q2
Obliczmy teraz frekwencje alleli A1 i A2 w populacji „dzieci”:

p’ = p2 + 0,5 x 2pq = p2 + p (1-p) = p
q’ = q2 + 0,5 x 2pq = q2 + q (1-q) = q

Widzimy, że frekwencje alleli nie zmieniły się z pokolenia na pokolenie. Prawo Hardy’ego i Weinberga mówi właśnie o tym , że gdy te frekwencje się nie zmieniają, populacja nie ewoluuje. A dzieje się to wtedy, gdy jest ona nieskończenie duża, doskonale izolowana, krzyżowanie odbywa się w niej w sposób losowy i nie występuje selekcja i mutacje.
Z matematyki wiemy, że suma częstości genotypów p2 + 2pq + q2 jest rozwinięciem dwumianu kwadratowego, którego wartość musi u nas wynosić 1.

(p + q)2 = 1

Tak wygląda matematyczny zapis prawa Hardy'ego i Weinberga. Oczywiście, możemy je rozszerzać na większą liczbę alleli. Załóżmy, że gen A posiada 5 alleli o odpowiednich częstościach: A1 - p, A2 - q, A3 - s, A 4 - r, A5 - t.
Teraz prawo to będzie miało postać: (p + q + s + r + t)2 = 1
Jeśli frekwencje alleli i genotypów nie zmieniają się z czasem to mówimy, że populacja jest w równowadze Hardy'ego i Weinberga, czyli nie ewoluuje (poprzez zmiany).
Wróćmy jednak do najprostszego przypadku. Nasze najważniejsze równanie, słynny w całej genetyce populacyjnej dwumian kwadratowy, ma istotne zastosowanie.
Jeśli wiemy, że w populacji jakiś gen ma dwa allele, to znając frekwencję jednego z nich możemy obliczać częstości wszystkich genotypów w populacji. Dla przykładu załóżmy, że p - częstość allelu A1 wynosi 0,1. Ze wzoru p+q =1 obliczamy, że q = 0,9.
Zatem osobników o genotypie:

A1A1 jest (0,1)2 = 1%
A1A2 – 2 x 0,1 x 0,9 = 18%
A2A2 - (0,9)2 = 81%

Z tych rozważań wynika bardzo istotna refleksja dotycząca chorób lub wad genetycznych. Bardzo często są one powodowane przez jakiś allel recesywny. Pamiętamy, że jest to taki allel, którego działanie ujawnia się tylko wtedy, gdy występuje on u osobnika w dwóch kopiach. Takiego osobnika nazywamy homozygotą recesywną. Częsta recesywność allelu, powodującego chorobę genetyczną wynika stąd, że powstaje ona zazwyczaj wskutek niedoboru funkcjonalnego białka (allel recesywny ma jakąś poważną mutację). Niedobór może być kompensowany, stąd dominacja alleli „zdrowych”.
Załóżmy, że osobnik chory występuje z częstością: raz na 10 000 osobników. Prawo Hardy’ego i Weinberga pozwala nam teraz dokonać operacji odwrotnej. Możemy obliczyć frekwencję zdefektowanego, recesywnego allelu znając frekwencję genotypu:
Jak łatwo obliczyć, będzie ona wynosić: p = 0,01.
Allel ten nie występuje jednak tylko u homozygot recesywnych. Mają go również heterozygoty, czyli osobniki zdrowe, ze względu na dominujący efekt drugiego allelu. Osobniki te są jednak genetycznymi nosicielami choroby. Mamy już wprawę w obliczeniach i szybko wyznaczymy ich frekwencję: 2 x 0,01 x 0,99 = 0,0198 . Nosicieli jest aż 198 razy więcej, niż osobników chorych, przy częstości allelu recesywnego 0,01. Wykorzystajmy omawiany wcześniej przykład, w którym częstość jednego z alleli wynosi 0,1. Gdyby powodował on chorobę, nosicieli byłoby tylko 18 razy więcej, czyli mniej niż w pierwszym przypadku. Zbadajmy to zjawisko dokładnie. W tym celu przyglądnijmy się funkcji wyrażającej zależność stosunku liczby heterozygot do homozygot recesywnych od częstości allelu recesywnego. Ma ona postać: y = [ 2p(1-p)] / p2. Jej wykres przedstawia rysunek 1.



Rys.1. Funkcja przedstawiająca zależność stosunku liczby heterozygot do homozygot recesywnych w zakresie częstości allelu recesywnego od 0 do 1.

Z funkcji powyższej wynika, że im rzadszy będzie allel zdefektowany, tym większy będzie stosunek liczby jego nosicieli do liczby osobników chorych. Ten Czytelnik, który przedkłada wizualizację nad rozwiązania analityczne może spojrzeć teraz na rysunek 2.


Rys.2. Rysunek obrazuje stosunek liczbowy heterozygot (kolor szary) do homozygot recesywnych (kolor czarny).
1. Częstość recesywnego allelu p = 1/2. Stosunek = 2.
2. Częstość recesywnego allelu p = 1/4. Stosunek = 6.

Rozważania te dają dużo do myślenia. Wskazują one, że wszelka polityka propagująca nieposiadanie potomstwa przez chorych na jakąś chorobę genetyczną, byłaby nie tylko nieludzka, ale i mało skuteczna. Zdaję sobie sprawę, że stwierdzenie te może wywołać kontrowersje. Należy jednak pamiętać, że gdyby istniała polityka nieposiadania potomstwa przez ludzi chorych na choroby genetyczne, zmniejszenie częstości alleli zdefektowanych o połowę zajęłoby setki lat. Prognozuję, że w przeciągu mniej niż stu lat terapia genowa będzie na takim poziomie, aby skutecznie leczyć. W tym konkretnym przypadku więc lepiej postawić na leczenie niż na źle pojętą „profilaktykę”. Im bowiem rzadsza jest frekwencja allelu recesywnego (a rzadkość jest właśnie cechą charakteryzującą allele wywołujące poważne choroby), tym bardziej jest on oporny na usunięcie go z populacji, gdyż tym większy ułamek jego frekwencji występuje u zdrowych nosicieli.
Zobaczmy jakie dalsze wnioski płyną z prawa Hardy'ego i Weinberga i spróbujmy odpowiedzieć na pytanie: przy jakiej częstości alleli w puli genetycznej populacji frekwencja heterozygot jest największa ? Matematycznie problem sprowadza się do znalezienia funkcji pokazującej zależność pomiędzy P12 (częstość heterozygot) a p i q i wyznaczenia jej maksimum. Znamy ją. Ma ona postać:

P12 = 2pq = 2 p (1-p)

Maksimum funkcji wyznacza się obliczając jej pochodną i badając czy jest taki argument, dla którego ma ona wartość 0 i zmienia znak z dodatniego na ujemny. Mamy zatem:

P12 = 2 p (1-p)
dP12 / dp = - 4p + 2
-4p + 2 = O → p = 0,5

Wszystkie powyższe warunki spełnia wartość p = 0,5 (zob. rys.3.).



Rys.3. Funkcja pokazująca, że maksymalna częstość heterozygot dla puli genetycznej z dwoma allelami 1 genu jest wtedy gdy ich częstości są równe.

Funkcja ukazuje, że maksymalna częstość heterozygot w populacji, w której krążą 2 allele 1 genu jest osiągana, gdy ich częstości wynoszą 0,5. Wynosi ona wtedy 2 x 0,5 x 0,5 = 50%. Spróbujmy teraz rozwiązać ten problem dla 3 alleli A1, A2, A3, których częstości wynoszą odpowiednio: p, q, s.
Ze wzoru na liczbę rodzajów heterozygot obliczamy, że będzie ich 3! / (1! 2!) = 3. Wzór Hardy'ego i Weinberga w tym przypadku będzie wyglądał: (p + q + s)2 = 2pq + 2qs + 2ps + p2 + q2 + s2 = 1 Częstości heterozygot będą więc wynosić: A1A2 - 2pq, A2A3 - 2qs, A1A3 -2ps. Problem sprowadza się więc do wyznaczenia maksimum funkcji: P = 2pq + 2qs + 2ps. Podamy już tylko ostateczny wynik. Maksimum to występuje przy wartościach p = q = s = 0,33. Heterozygot będzie więc 3 x 2 x 0,33 x 0,33 = 66%. Można również wykazać, że dla 4 rodzajów alleli maksimum będzie występować przy wartości częstości równej dla wszystkich 0,25. Tu procent heterozygot będzie jeszcze większy - 75%. I tak dalej.
Możemy zatem wyciągnąć kolejny ogólny wniosek. Ze wzrostem liczby rodzajów alleli jakiegoś genu w puli, wzrasta maksymalny procent osobników heterozygotycznych. Wniosek ten należało udowodnić. Rysunek 4 pozwala nam go natomiast również zauważyć.



Rys.4. Rysunek pokazujący maksymalny procent heterozygot (kolor szary).
1. Przypadek 2 rodzajów alleli w puli genetycznej. Widać, że heterozygoty stanowią 50 %.
2. Przypadek 4 rodzajów alleli w puli genetycznej. Heterozygoty stanowią tu już 75%.

Czy z tej prawidłowości korzystają populacje organizmów ? Skupmy się na jednym genie z kompleksu MHC II. Nosi on nazwę HLA - DRB1. U ludzi wykryto aż 59 rodzajów jego alleli. Jest to z pewnością jeden z najbardziej polimorficznych genów człowieka. Tutaj mamy do czynienia ze współpracą i uzupełnianiem się w prezentacji antygenu pomiędzy allelami jednego genu. Tak więc z punktu widzenia interesu każdego z nich, lepiej jest, gdy na chromosomie homologicznym znajdzie się inny allel. Silny polimorfizm jest zatem wygodnym rozwiązaniem ewolucyjnym, korzystnym dla każdego z alleli, ponieważ im więcej będzie ich rodzajów, tym mniejsze będzie prawdopodobieństwo że znajdą one swoje identyczne kopie wewnątrz tego samego organizmu, gdyż jak wiemy, spada wtedy procent homozygot. Wypływa z tego ciekawa refleksja. Nie zawsze monopolizacja innych obiektów jest wyznacznikiem sukcesu ewolucyjnego. Na przykład: właśnie w przypadku wszystkich alleli HLA - DRB1 korzystne jest zmniejszanie swojej częstości kosztem innych, gdyż z innymi po prostu lepiej się współpracuje. Mamy więc tu do czynienia z tendencją wręcz przeciwną do monopolizacji. Z tendencją do ustępowania. Nie mamy jednak wątpliwości, że jest to po prostu ciekawa strategia przetrwania. A przecież o przetrwanie zawsze chodzi w ewolucji.
Skorzystajmy z okazji omawiania zjawisk w układzie zgodności tkankowej HLA i zróbmy dygresję, dotyczącą problemu przyjmowania się przeszczepów. Powszechnie wiadomo, że narządy pobrane od osoby obcej bardzo źle przyjmowane są przez organizm biorcy. Lepiej do tego nadają się organy rodzeństwa, a idealnymi dawcami są tylko bliźnięta jednojajowe dla siebie nawzajem. Dlaczego tak jest ?
Układ immunologiczny skonstruowany jest w ten sposób, że aby komórki dawcy nie zostały przez niego zaatakowane, musiałyby one mieć na dobrą sprawę identyczne genotypy z komórkami biorcy pod względem genów MHC I i MHC II, których jest razem kilka. Dla uproszczenia, weźmy tylko jeden poznany już gen HLA - DRB1 i załóżmy, że częstości wszystkich jego alleli są równe i wynoszą 1/59. Z takich założeń wynika, że każdy rodzaj heterozygoty będzie 2x częstszy od jakiegokolwiek rodzaju homozygoty (zob. rys.5).



Rys.5. Przy równych częstościach alleli każdy rodzaj heterozygoty jest 2x częstszy od jakiegokolwiek rodzaju homozygoty. Na rysunku zaznaczono dla przykładu heterozygotę 2ps i wszystkie 4 rodzaje homozygot w przypadku 4 rodzajów alleli.

Skoro heterozygoty są częstsze, to załóżmy optymistyczny wariant i obliczmy prawdopodobieństwo, że losowo wybrany dawca i biorca będą heterozygotami z identycznym genotypem. Wynosi ono (2x(1/59)2)2 = 0,00000033. Jest to prawdopodobieństwo znikome (33 przypadki na 100 mln).
Rodzeństwo natomiast dziedziczy po rodzicach. Zakładając, że rodzice są różnymi heterozygotami prawdopodobieństwo, że ich potomstwo będzie miało identyczne genotypy wynosi już (0,25)2 = 0,0625 czyli znacznie lepiej. Pamiętajmy jednak, że cały czas rozpatrujemy tylko 1 gen. Dla n genów szanse byłyby mniejsze - (0,25)2n. Bliźniaki wywodzą się z jednej zapłodnionej komórki jajowej, która rozdzieliła się na dwie i dała początek dwóm organizmom. Ich genotypy zawsze więc będą identyczne.
Zajmijmy się teraz dynamiką pul genetycznych. Ewolucja zachodzi, tak więc częstości alleli w nich muszą zmieniać się z pokolenia na pokolenie. Z tego wynika, że trzeba nam przyjrzeć się sposobom, w jakie realne zjawiska ewolucyjne łamią wyidealizowane prawo Hardy'ego i Weinberga i tym właśnie zajmiemy się w dalszej części tego punktu.

a) Nielosowe krzyżowanie się osobników w populacji

W idealnej populacji, będącej w równowadze Hardy'ego i Weinberga, w której zachodzi losowe krzyżowanie, czyli tzw. panmiksja, częstości genotypów nie zmieniają się w czasie i mogą być obliczone z rozwinięcia dwumianu (p+q)2
Zejdźmy jednak na ziemię i zobaczmy co dzieje się w populacji, w której pewne genotypy preferują się seksualnie. Załóżmy, że:

P11’ = p2 - M1
P22’ = q2 - M2

co oznacza, że prawdopodobieństwo, że te same allele połączą się, jest mniejsze niż wynika z mnożenia prawdopodobieństw, czyli jest niższe niż przypadkowe. Będzie tak wtedy, gdy genotypy homozygotyczne będą wykazywały większą preferencję do innych genotypów, niż do swoich. Jako, że P11 + P12 + P22 musi równać się zawsze jeden, w idealnym czy nieidealnym świecie, to wynika z tego, że:

P12’ = 2pq + M1 + M2

Obliczmy teraz częstości alleli w pokoleniu dzieci (podobne obliczenie już wykonaliśmy)

p’ = p2 - M1 + 0,5 x (2pq + M1 + M2 ) = p - 0,5 M1 + 0,5 M2
q’ = q2 - M1 + 0,5 x (2pq + M1 + M2 ) = q + 0,5 M1 - 0,5 M2

Wartości p’ i q’ będą zależeć od M1 i M2, a ich relacje z p i q od relacji pomiędzy M1 i M2.
Rozpatrzmy 3 przypadki:

Jeśli M1 > M2 wtedy p’ < p i q’ > q. Jest to dość oczywiste, gdyż większe wartość M1 oznacza, że allele p bardziej nie lubią się łączyć ze sobą niż allele q. Lubią natomiast bardziej z allelami q. W konsekwencji, ten ostatni będzie zwiększał swoją częstość w puli.

Jeśli M1 < M2 wtedy p’ > p i q’ < q. Sytuacja jest odwrotna.

Jeśli M1 = M2 wtedy p’ = p i q’ = q. Ta sytuacja jest najciekawsza. Widzimy bowiem, że mimo zmiany częstości genotypów nie zmieniły się częstości alleli. Czy może tak być ? Okazuje się, że tak. Wartości p’ i q’ mimo, że równe odpowiednio p i q, nie mogą zostać podstawione do dwumianu kwadratowego (p’+q’)2, gdyż dałby on złe przewidywania ze względu na to, że przy jego konstruowaniu założono losowe łączenie alleli. Mnożenie prawdopodobieństw można było wtedy wizualizować za pomocą pól kwadratów i prostokątów, gdyż wartości ich oblicza się właśnie przez proste podnoszenie do kwadratu tej samej wartości długości boku (homozygoty) lub proste mnożenie dwóch wartości dwóch boków (heterozygoty). Taką wizualizację przedstawia rys.6.



Rys.6. Przy losowym łączeniu alleli mogliśmy wizualizować częstości genotypów jako pola kwadratów lub prostokątów stanowiących część wielkiego kwadratu.

W przypadku na rysunku powyżej: P11 = 1/16 , P12 = 6/16, P22 = 9/16. Wynika z tego, że : p = 1/16 + 0,5 x 6/16 = 0,25 ; q = 9/16 + 0,5 x 6/16 = 0,75
Wprowadźmy teraz nielosowość i przyjmijmy, że M1 = M2 = 1/16. Będziemy wtedy mieli P11’ = 3/16 , P12’ = 10/16, P22’ = 3/16. Teraz wizualizacja nasza nie będzie zawierać małych kwadratów i prostokątów, ale pola naszych figur nadal będą dopełniać się do dużego kwadratu.



Rys.7. Przy nielosowym łączeniu alleli nie mamy do czynienia z kwadratami lub prostokątami, lecz pola naszych figur sumują się do pola wielkiego kwadratu.

Obliczmy częstości alleli z częstości genotypów na powyższym rysunku 7:

p’ = 3/16 + 0,5 x 10/16 = 0,5 = p , q’ = 3/16 + 0,5 x 10/16 = 0,5 = q

b) Migracja osobników z innych populacji

Załóżmy, że do populacji mającej częstości alleli A1 i A2 w puli, wynoszące odpowiednio p1 i q1 migrują osobniki z innej populacji, mające częstości tych alleli w swojej puli równe: p2 i q2. Po zmieszaniu z populacją tubylczą imigranci będą stanowić m - tą część nowo powstałej. Częstości alleli A1 i A2 będą teraz wynosić:

p = mp2 + (1-m)p1 = m(p2 - p1) + p1
q = mq2 + (1-m)q1 = m(q2 - q1) + q1

Ze wzoru wynika, że jeśli p2 jest różne od p1 i, co za tym idzie, q2 różne od q1, co ma miejsce wtedy, gdy populacja imigrantów ma inne częstości alleli niż tubylcza, to wtedy p będzie różne od p1 i q różne od q1. Oznacza to tyle, że w puli populacji tubylczej, w wyniku napływu imigrantów, zmieni się częstość alleli. Spróbujmy unaocznić tą sytuację na rys.8.
Z rysunku poniżej odczytujemy, że częstość genotypów w nowej populacji będzie wynosić:

P11 = (1+1)/20 = 1/10
P12 = (2+6)/20 = 4/10
P22 = (1+9)/20 = 5/10

Szybko wyznaczymy częstości alleli. Wynoszą one: p = 3/10, q = 7/10. Są więc inne niż w populacji tubylczej.



Rys.8. Schemat pokazujący migrację populacji o częstościach alleli A1 i A2 wynoszących: 0,5 ; 0,5 do populacji o ich częstościach: 0,25 ; 0,75.

Możemy obliczyć je inną drogą i przy okazji sprawdzić czy nasz wzór jest prawidłowy. Nasze m wyznaczymy dzieląc pole małego kwadratu przez sumę pól obydwu kwadratów. Wynosi ono 4/20 = 0,2.

p = 0,2 x ( 0,5 - 0,25 ) + 0,25 = 3/10
q = 0,2 x (0,5 - 0,75 ) + 0,75 = 7/10

c) Selekcja

Jest to bardzo znany i istotny czynnik, grający rolę w ewolucji. Nazwa jego wskazuje na pewien wybór. Wyboru tego dokonują czynniki środowiskowe spomiędzy różnych genotypów. Ten z nich, który jest do tych warunków najlepiej dostosowany - wygrywa.
Zobrazujmy selekcję na maksymalnie uproszczonym modelu. Ponownie będziemy opierać się tylko na 3 genotypach:
A1A1, A1A2, A2A2.
Miarę zdolności przetrwania i reprodukcji organizmu określamy jako dostosowanie(fitness) - W. Jest ono iloczynem prawdopodobieństwa przetrwania genotypu do czasu wydania przezeń potomstwa (P) oraz liczby owego potomstwa (I).
Spójrzmy na poniższy przykład:

W = P x I
A1A1, W11 = 1/4 x 4 = 1
A1A2, W12 = 1/4 x 8 = 2
A2A2, W22 = 1/20 x 20= 1

Wartości powyższe są tzw. wartościami absolutnymi dostosowania. Możemy zamienić je na wartości względne przyjmując dostosowanie najlepszego genotypu za jeden i dzieląc pozostałe przez jego wartość absolutną.

A1A1 - W11 = 1/2 = 0,5
A1A2 - W12 = 1
A2A2 - W22 = 1/2 = 0,5

Musimy sobie uświadomić, że dostosowanie nie jest cechą pojedynczego osobnika z danym genotypem, lecz czymś, co charakteryzuje genotyp. Wynika z tego, że np. średnia ilość potomstwa osobników A1A2 będzie 2 razy większa niż u osobników A1A1. Nie porównujemy zatem konkretnych par, lecz średnie dla obu grup.
Pora przyjrzeć się selekcji w sposób ścisły. Bardzo wygodnym sposobem wyrażania jej siły jest współczynnik selekcji, który dla danego genotypu jest tym większy, im większy jest spadek udziału jego potomstwa w stosunku do genotypu najlepiej przystosowanego. W naszym przypadku:

A1A1, W11 = 0,5 = 1 - 0,5   Wsp.selekcji - 0,5
A1A2, W12 = 1 = 1 - 0   Wsp.selekcji - 0
A2A2, W22 = 0,5 = 1 - 0,5   Wsp.selekcji - 0,5

Oznacza to, że na 100 potomków genotypu A1A2 przypada 50 potomków pozostałych dwóch genotypów. Zbudujmy teraz ogólniejszy, choć bardzo ścisły model selekcji. Jak bowiem wiemy, ścisłość i ogólność wcale sobie nie przeczą. Przykładem na to są choćby prawa mechaniki Newtona.
Mamy więc:

Względne przystosowanieCzęstości genotypów rodzicówCzęstości genotypów potomstwa
A1A11 - hp2(1 - h ) p2
A1A212pq2pq
A2A21 - sq2(1 - s ) q2


przy czym: h i s to współczynniki selekcji odpowiednio dla genotypu: A1A1 i A2A2.
Wyznaczmy teraz wzór na zmianę częstości allelu A2. W pokoleniu rodziców wynosiła ona q, a w pokoleniu dzieci wynosić będzie:

[(1 - s ) q2 + pq ] / [(1 - h ) p2 + 2pq + (1 - s ) q2]
Zatem: przyrost q = [(1 - s ) q2 + pq ] / [(1 - h ) p2 + 2pq + (1 - s ) q2] - q
Zbadajmy teraz dwa konkretne przypadki:

1. Allel A2 jest recesywny, h = 0
Funkcja wyrażająca wielkość zmian częstości tego allelu od jego częstości pokazana jest na rys.9.



Rys.9. Funkcja wyrażająca zależność między częstością allelu, a zmianami jego częstości, przy doborze przeciwko homozygotom recesywnym dla s = 0,5.

Patrząc na powyższą funkcję rzucają się na myśl dwa wnioski. Po pierwsze, zmiany częstości allelu mają różne natężenie w zależności od jakiej częstości początkowej wyjdziemy. Przy niewielkich częstościach (q w pobliżu zera) zmiany te są niewielkie, co potwierdza nasze wcześniejsze wnioski o oporności w usuwaniu recesywnych alleli z populacji, gdy są one rzadkie. Po drugie widzimy, że zmiany te są zawsze ujemne (funkcja pod osią OX). Wynika z tego, że zmiany zawsze będą doprowadzać do zmniejszenia udziału allelu A2 w puli genetycznej, aż do jego całkowitego usunięcia. Należało się tego spodziewać, gdyż dobór działa przeciwko genotypom A2A2. Mimo faktu, że allel A2 przebywa również w heterozygotach, zostanie on usunięty, gdyż potomstowo heterozygot to w 1 / 4 homozygoty recesywne. Będzie on więc też z heterozygot powoli usuwany.
Klasycznym przykładem selekcji przeciwko homozygotom recesywnym, zaczerpniętym z przyrody jest tzw. melanizm przemysłowy ćmy o nazwie Biston betularia. Występuje ona w silnie zindustrializowanym regionie Manchesteru w formie czarnej, melanicznej. Taki kolor zapewnia jej ochronę przed drapieżnikami, którym trudniej jest zauważyć zdobycz na pozbawionych porostów, czarnych korach drzew. Forma biała jest homozygotą recesywną. W 1850 r. była ona formą przeważającą, lecz po 100 latach silnej presji selekcyjnej ze strony angielskiego przemysłu, stanowi ona już tylko 5 % w obecnej populacji.

2. Najlepiej przystosowana jest heterozygota. Mamy do czynienia ze zjawiskiem naddominacji. Wzór na przyrost q po wielu przekształceniach będzie miał postać:

[q (1-q) (h(1-q) - sq)] / (1 - h (1-q)2 - s q2)

Funkcja wyrażająca wielkość zmian częstości allelu A2 od jego częstości pokazana jest na rys.10.



Rys.10. Funkcja wyrażająca zależność między częstością allelu, a zmianami jego częstości, przy doborze przeciwko obydwu homozygotom, dla s=h=0,5

Przyjrzyjmy się tej funkcji z bliska. Ponownie rzuca nam się w oczy różna wielkość zmian częstości allelu, w zależności od warunków początkowych. Tym razem uwagę naszą również przykuwa punkt, który powstał w wyniku przecięcia osi OX z wykresem funkcji (qr). W tym punkcie przyrost q wynosi 0. Jego wartość można obliczyć. Jeśli delta q ma wynosić 0, to h(1-q)-sq = 0. Z tego wynika, że q = h / (h+s), czyli w naszym przypadku 0,5. Dla q większego od qr, przyrost jest ujemny czyli dąży do qr. Dla q mniejszego od qr, przyrost jest dodatni więc też dąży do qr. Okazuje się więc, że qr stanowi punkt równowagi stabilnej.
Jest rzeczą intuicyjnie oczywistą, że przy selekcji faworyzującej heterozygoty żaden z alleli nie może zniknąć z puli populacji. Jest to kolejny przykład polimorfizmu stabilnego w czasie czyli tzw. polimorfizmu zrównoważonego.
W populacjach wschodniej Afryki wykryto zmutowany allel hemoglobiny, powodujący poważny defekt w strukturze krwinek czerwonych. Heterozygoty posiadające ten allel wraz z niezmutowanym mają 30% wadliwych erytrocytów. Ich przystosowanie jest jednak największe ze względu na fakt, że ujemny efekt obecności wadliwego allelu jest z nadwyżką kompensowany przez odporność na malarię, którą on warunkuje. W konsekwencji najlepiej jest posiadać oba rodzaje alleli, gdyż homozygoty z normalną hemoglobiną są nieodporne na malarię, a te z allelami sierpowatości - mają 100% zdefektowanych erytrocytów.

d) Dryf genetyczny

Dryf genetyczny jest to zjawisko losowe, nasilające się w małych próbach losowych. Takie próby, z powodów czysto losowych, nie są reprezentatywne ze względu na procenty częstości populacji dużej. Dryf w biologii nasila się wtedy, gdy populacja oderwana od macierzystej jest mała, lub populacja macierzysta drastycznie się zmniejszy. W pierwszym przypadku mówimy o efekcie założyciela. W drugim przypadku mówimy o efekcie szyjki od butelki.



e) Mutacje

W poprzednich punktach omawialiśmy zjawiska na allelach z cichym założeniem, że ich przemiany w siebie nie są możliwe. W tym punkcie złamiemy to założenie i przyjrzymy się mutacjom - zjawiskom które umożliwiają takie przejścia. Załóżmy, że gen A ma 2 allele - A1 o częstości p i A2 o częstości q. Przechodzą one w siebie w wyniku mutacji, mających charakter neutralny (bo tak założyliśmy). Znaczy to, że żaden allel nie ma przewagi selekcyjnej nad drugim w jakimkolwiek zestawieniu.
Dobrym przykładem mutacji neutralnej jest tranzycja, która zaszła w trzecim nukleotydzie kodonu. Zmienia ona sekwencję nukleotydów, więc mamy do czynienia z innym allelem, ale często nie zmienia sekwencji kodowanego białka, czyli efektu fenotypowego poddawanego selekcji. Następnym przykładem takiej mutacji jest zmiana zasady w intronie.
Częstość mutacji A1 → A2 wynosi u, a mutacji A2 → A1 wynosi v. Zmianę częstości allelu A2 możemy zapisać wzorem:

przyrost q = up - vq

W stanie równowagi - przyrost q = 0, czyli:

up = vq → p/q = v/u → (pamiętamy: p=1-q): qr = u/(u+v) , pr = 1 - u/(u+v)

W wyidealizowanym świecie mielibyśmy zatem do czynienia z wieczną równowagą częstości obu alleli. Realne populacje mają jednak skończoną liczbę osobników i podlegają losowemu zjawisku, zwanemu dryfem genetycznym. Jest takie prawo dotyczące dryfu, które przyjmiemy tu bez dowodu mówiące, że prawdopodobieństwo utrwalenia allelu w puli jest równe jego częstości w niej. Tak więc, w naszym przypadku prawdopodobieństwo utrwalenia allelu A1 wynosi p.
Wprowadźmy teraz dodatkowy czynnik - selekcję i załóżmy, że współczynnik doboru homozygoty recesywnej A2A2 wynosi s. Warunek równowagi będzie tutaj wyglądał:

przyrost q = u ( 1-q ) - vq - [s q2 ( 1-q )]/ (1 - s q2) = 0

Składnik vq możemy zaniedbać gdy założymy, że częstość allelu recesywnego w populacji jest niewielka. Wzór będzie więc miał postać:

u ( 1-q ) (1 - s q2) = s q2 ( 1-q ) → qr =

Częstość mutacji u ma z reguły wartość około 10-5/allel/ pokolenie. Jeśli przyjmiemy, że s = 0,01, to nasz wzór daje wartość równowagową ok. 0,03. Widać więc, że mimo presji selekcyjnej przeciwko allelowi A2, nie znika on z puli, ze względu na istnienie mutacji, które nieprzerwanie go przywracają. Osiąga on stężenie równowagowe. Przy stałym u będzie ono zależeć od wartości s, czyli od siły selekcyjnej.

MACIEJ PANCZYKOWSKI

 Autor wortalu: Maciej Panczykowski, Copyright © 2003-2018 by Maciej Panczykowski